Методические рекомендации по выполнению контрольных работ по математике. Кулиш Н.В - 29 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ОГУ | Оренбург

Составители: 

Рубрика: 

Найти неопределённые интегралы. Правильность полученных
результатов проверить дифференцированием.
а)
∫
+
−
dx
x
xarctgx
2
161
46
, б)
, в)
∫
⋅ dxxarctgx
(
)
()
∫
−+
+−
dx
хх
хх
11
23
2
2
, г) dx
x
x
∫
+
3
6
1
.
Решение:
а)
()
∫∫∫∫
+
+
=
+
+
+
=
+
+
dx
x
x
dx
x
xarctg
dx
x
x
dx
x
xarctgx
2222
161
32
32
6
41
4
161
6
161
46
()
(
)
∫∫
=+++⋅=⋅+ C
xarctg
xxarctgdxarctg
2
4
4
1
161ln
32
6
44
4
1
2
2
()
.4
8
1
161ln
16
3
2
2
Cxarctgx +++⋅=
При решении использован метод подведения под знак дифференциала и
правило
()
()
()
.ln Cxfdx
xf
xf
+=⋅
′
∫
Проверка:
()
.
161
46
161
4
161
6
04
161
1
42
8
1
32
161
1
16
3
4
8
1
161ln
16
3
222
22
2
2
x
xarctgx
x
xarctg
x
x
x
xarctgx
x
Cxarctgx
+
+
=
+
+
+
=
=+⋅
+
⋅+⋅
+
⋅=
=
′
+++⋅
29
       Найти неопределённые интегралы.                                                 Правильность               полученных
результатов проверить дифференцированием.

         6 x − arctg 4 x                                                         3х 2 − х + 2                      6
                                                                                                                       x
а)   ∫     1 + 16 x 2
                             dx , б)       ∫ x ⋅ arctg x dx ,            в)   ∫ (1 + х 2 )(х − 1) dx ,   г)   ∫ 1 + 3 x dx .

             Решение:

                       6 x + arctg 4 x                     6x                   arctg 4 x            6    32 x
             а)    ∫     1 + 16 x 2
                                           dx = ∫
                                                        1 + 16 x 2
                                                                     dx + ∫
                                                                               1 + (4 x )2
                                                                                             dx =      ∫
                                                                                                    32 1 + 16 x 2
                                                                                                                  dx +


                                                                        1 (arctg 4 x )
                                                                                                              2
                    1                                6
                   + ∫ arctg 4 x ⋅ d (arctg 4 x ) =    ⋅ ln 1 + 16 x 2 + ∫             +C =
                    4                               32                  4      2

                        3                  1
                   =      ⋅ ln 1 + 16 x 2 + (arctg 4 x )2 + C.
                       16                  8


       При решении использован метод подведения под знак дифференциала и
          f ′( x )
правило ∫          ⋅ dx = ln f ( x ) + C.
          f (x )

             Проверка:

                                                  ′
             3               1                 
              ⋅ ln 1 + 16 x + (arctg 4 x ) + C  =
                            2              2
              16             8                 

                   3     1               1                   1
             =       ⋅          ⋅ 32 x +   ⋅ 2 arctg 4 x            ⋅4+0=
                  16 1 + 16 x 2          8               1 + 16 x 2

                       6x            arctg 4 x          6 x + arctg 4 x
             =               2
                                 +              2
                                                    =                2
                                                                          .
                  1 + 16 x           1 + 16 x             1 + 16 x




                                                                                                                               29

Страницы