Методические рекомендации по выполнению контрольных работ по математике. Кулиш Н.В - 31 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ОГУ | Оренбург

Составители: 

Рубрика: 

в)
()
()
∫
⋅
−+
+−
dx
xx
xx
11
23
2
2
.
Представим дробь
()
()
11
23
2
2
−⋅+
+−
xx
xx
в виде суммы простейших дробей:
(
)
()
(
)
(
)
(
)
(
)
()
⇔
−⋅+
++−⋅+
=
−
+
+
+
=
−⋅+
+−
11
11
1
111
23
2
2
22
2
xx
xCxBAx
x
C
x
BAx
xx
xx
(
)( )
(
)
22
1123 xCxBAxxx ++−⋅+=+− ,
.23
222
CxC
B
A
x
B
x
A
x
x
x
+
+
−
−+=+−
Сравним коэффициенты при одинаковых степенях х:
CAx +=3:
2
.2:
2
,0
,1
1:
0
1
CBx
C
B
A
ABx
+−=
=
=
=
⇒−=−
Получаем:
()
()
.
1
2
111
23
22
2
−
+
+
=
−⋅+
+−
x
x
x
xx
xx
Тогда искомый интеграл будет равен:
()
()
()
()
.1ln21ln
2
1
1
2
1
2
2
1
1
2
1
1
2
111
23
2
2
2
22
2
Cxx
x
dx
x
x
dx
x
dx
x
x
dx
x
x
x
dx
xx
xx
+−++=
−
+
+
=
=
−
+
+
=
=
−
+
+
=
−⋅+
+−
∫∫
∫∫
∫∫
31
        3x 2 − x + 2
в)   ∫ (1 + x 2 )(x − 1) ⋅ dx .

                                 3x 2 − x + 2
Представим дробь
                               (1 + x )⋅ (x − 1) в виде суммы простейших дробей:
                                         2



     3x 2 − x + 2
                          =
                              Ax + B
                                             +
                                                  C
                                                      =
                                                                                (
                                                        ( Ax + B ) ⋅ (x − 1) + C 1 + x 2   )   ⇔
(1 + x )⋅ (x − 1)
        2
                              1+ x   2           x −1            (      )
                                                               1 + x 2 ⋅ ( x − 1)

3 x 2 − x + 2 = ( Ax + B ) ⋅ ( x − 1) + C 1 + x 2        (      ),
3 x 2 − x + 2 = Ax 2 + Bx − Ax − B + C + Cx 2 .

Сравним коэффициенты при одинаковых степенях х:

x2: 3 = A + C
                    A = 1,
                   
x 1: − 1 = B − A ⇒  B = 0,
                   C = 2
                   
x 0 : 2 = − B + C.

Получаем:

 3x 2 − x + 2         x      2
                  =       +
(           )
1 + x 2 ⋅ ( x − 1) 1 + x 2 x − 1
                                 .


Тогда искомый интеграл будет равен:

      3x 2 − x + 2                  x             2 
∫ (1 + x 2 )               dx = ∫          +           dx =
                ⋅ ( x − 1)          1 + (
                                         x 2   ( x − )
                                                     1) 

         x                  2
=∫               dx + ∫        dx =
      1 + x2              x −1

     1   2x          dx   1
=      ∫
     2 1+ x 2
              + 2 ∫     =
                    x −1 2
                            ln 1 + x 2 + 2 ln x − 1 + C.



                                                                                                   31

Страницы