Методические рекомендации по выполнению контрольных работ по математике. Кулиш Н.В - 30 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ОГУ | Оренбург

Составители: 

Рубрика: 

б)
∫∫
=
+
⋅−=
==
+
==
=⋅
2
22
2
2
1
22
2
1
x
dxxx
arctgx
x
vdxxdv
x
dx
duxarctgu
dxxarctgx
.
2
1
2
1
2
2
1
2
1
2
1
2
1
1
1
2
1
2
1
11
2
1
2
1
2
1
2
2
2
22
2
2
2
2
2
2
22
Cxarctgx
x
xarctg
xarctgdx
x
xarctg
x
dx
dx
x
x
x
xarctg
dx
x
x
x
xarctgdx
x
xx
xarctg
++−=
=+−=
+
+
+
+
−=
=
+
−+
−=
+
−=
∫∫∫
∫∫
При решении использован метод интегрирования по частям:
∫∫
⋅−=⋅ .duvuvdvu
Проверка:
()
()
() ()
() ()
.
1212
12
11
12
12
1
2
1
2
2
2
1
1
0
1
1
2
1
2
1
22
2
1
2
1
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
22
2
xarctgx
x
x
xarctgx
x
x
x
x
xarctgx
x
x
x
x
xarctg
x
x
x
x
xarctg
x
xarctg
Cxarctgx
x
xarctg
⋅=
+
−⋅+
+
=
=
+
−+
−⋅+
+
=
=
+
+−+⋅
+
=
=+
+
⋅+−
′
+⋅
′
=
=
′
+⋅+−
30
                                                                 dx
                                 u = arctg x du =                                2   2
                                                              1 + x 2 = arctgx x − x ⋅ dx =
     б)   ∫ x ⋅ arctg x dx =                                   x2               2 ∫ 2 1 + x2
                                  dv = x dx                 v=
                                                                2

                     x2 1 x2                  x2 1 x2+ 1 − 1
                     2 2 ∫ x2+ 1              2 2 ∫ x2+ 1
           = arctg x   −         dx = arctg x   −            dx =



                     x2 1 x2+ 1  1  dx            x2 1      1
           = arctg x   − ∫ 2 dx + ∫ 2   = arctg x   − ∫ dx + arctg x =
                     2 2 x +1    2 x +1           2 2       2


                         x2 1   1
           = arctg x       − x + arctg x + C.
                         2 2    2

     При решении использован метод интегрирования по частям:

     ∫ u ⋅ dv = uv − ∫ v ⋅ du.
     Проверка:

                                          ′
              x 2
                    1   1               
      arctg x     − x + ⋅ arctg x + C  =
               2   2   2
                                       

                                                  ′
                    x2            x2            1 1
                 ′
     = (arctg x ) ⋅    + arctg x               − + ⋅ 1 +0=
                    2                            2 2 x2 + 1
                                  2            


            x2 1         2x 1    1
     = 2  ⋅    + arctg x   − +        =
      x +1 2             2 2 2 1 + x2               (            )
               x2                         1 + x2 −1
     =                  + x ⋅ arctg x −                     =
           (
          21 + x2   )                      (
                                          21 + x2       )
               x2                              x2
     =                  + x ⋅ arctg x −                     = x ⋅ arctg x.
           (
          21 + x2   )                      (
                                          2 1 + x2   )
30

Страницы