Методические рекомендации по выполнению контрольных работ по математике. Кулиш Н.В - 34 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ОГУ | Оренбург

Составители: 

Рубрика: 

()
()( )()(
dxxxdxxxxdxyyS
∫∫∫
−−−
−+=−−−=−=
2
1
2
2
1
22
2
1
21
22424
)
.
Отсюда
()
.9
3
2
4224
2
1
2
1
2222
=
−+=−+=
−
−
∫
xxxdxxxS
Ответ: 9 кв. ед.
Задача 11.
Вычислить несобственный интеграл или установить его расходимость:
∫
+∞
∞−
+
2
1 x
dx
.
Решение:
Подынтегральная функция чётная, поэтому:
.
1
2
1
0
22
∫∫
+∞+∞
∞−
+
=
+ x
dx
x
dx
Найдём
()
2
0limlim
1
lim
1
0
0
2
0
2
р
arctgbarctgarctg
x
dx
x
dx
b
b
b
b
b
=−==
+
=
+
+∞→+∞→
+∞
+∞→
∫∫
.
Тогда
р
р
x
dx
=⋅=
+
∫
+∞
∞−
2
2
1
2
,
т.е. несобственный интеграл сходится.
Ответ:
π
.
Задача 12.
Найти радиус и интервал сходимости степенного ряда. Исследовать
сходимость ряда на концах интервала сходимости.
34
           ∫ ( y1 − y 2 ) dx = ∫ ((4 − x             ) − (x             ))     ∫ (4 + 2 x − 2 x       ) dx .
           2                          2                                        2
                                                2             2                                   2
      S=                                                          − 2 x dx =
           −1                       −1                                         −1

                                                                                     2

                        ∫ (4 + 2 x − 2 x        )
                        2
                                            2                          2 
      Отсюда S =                                    dx =  4 x 2 + x 2 − x 2             = 9.
                        −1                                             3           −1

      Ответ: 9 кв. ед.

      Задача 11.

      Вычислить несобственный интеграл или установить его расходимость:
      +∞
           dx
       ∫ 1 + x2 .
      −∞

      Решение:
      Подынтегральная функция чётная, поэтому:

      +∞               +∞
           dx                  dx
       ∫ 1 + x2      =2∫
                             1 + x2
                                      .
      −∞                0

      Найдём
      +∞                       b
           dx                       dx                                                                 р
                                          = lim arctg 0 = lim (arctg b − arctg 0 ) =
                                                                  b
       ∫ 1 + x2      = lim
                      b → +∞
                               ∫ 1 + x2    b → +∞                     b → +∞                           2
                                                                                                         .
       0                       0

      Тогда
      +∞
           dx               р
       ∫        x2
                     = 2⋅
                            2
                              =р,
      −∞ 1 +

      т.е. несобственный интеграл сходится.

      Ответ: π .



      Задача 12.

      Найти радиус и интервал сходимости степенного ряда. Исследовать
сходимость ряда на концах интервала сходимости.

34

Страницы