Методические рекомендации по выполнению контрольных работ по математике. Кулиш Н.В - 35 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ОГУ | Оренбург

Составители: 

Рубрика: 

()
∑
∞
=
+⋅
+
+
0
2
2
1
3
n
n
x
n
n
.
Решение:
Для построения интервала и радиуса сходимости воспользуемся
признаком Даламбера:
()()
(
)
()
()
()()
()
()
()
()
.2
322
14
lim2
2311
124
limlim
2
2
2
2
1
1
+=
+⋅++
+⋅+
⋅+=
=
+⋅+⋅++
+⋅+⋅+
=
∞→
+
∞→
+
∞→
x
nnn
nn
x
xnn
nxn
a
a
n
n
n
n
n
n
n
Ряд абсолютно сходится при 12
<
+
x ,
.13
,121
−
<
<
−
<
+
<
−
x
x
Ряд расходится при
()
(
)
.;13;
Υ
∞+−−∞−∈x
Радиус сходимости равен 1.
Исследуем ряд на сходимость на концах интервала:
() ()
∑∑
∞
=
∞
=
−⋅
+
+
=+−⋅
+
+
−=
0
2
0
2
1
1
3
23
1
3
:3
n
nn
n
n
n
n
n
x
– знакочередующийся ряд.
Так как:
1.
...
321
>>> aaa
2.
0
1
3
limlim
2
=
+
+
=
∞→∞→
n
n
a
n
n
n
, т.к. выполняются оба условия теоремы
Лейбница, то этот знакочередующийся ряд сходится.
()
∑∑
∞
=
∞
=
+
+
=+−⋅
+
+
−=
0
2
0
2
1
3
21
1
3
:1
nn
n
n
n
n
n
x
– числовой положительный ряд.
Рассмотрим ряд
∑
∞
=1
1
n
n
– гармонический ряд, он расходится.
35
            ∞
                    n+3
           ∑        2
                             ⋅ ( x + 2 )n .
           n =0 n       +1

       Решение:
       Для построения интервала и радиуса сходимости воспользуемся
признаком Даламбера:

               a n +1
                      = lim
                               (n + 4 ) ⋅ (x + 2 )n +1 ⋅ n 2 + 1
                                                                  =
                                                                             (     )
                                      (                        )
           lim
           n→∞ a n      n → ∞ (n + 1)2 + 1 ⋅ (n + 3) ⋅ ( x + 2 )n



                                                  (n + 4 ) ⋅ (n 2 + 1)
                             =   x + 2 ⋅ lim 2                         =               x + 2.
                                         n → ∞ (n + 2n + 2 ) ⋅ (n + 3)



           Ряд абсолютно сходится при                                 x + 2 < 1,
                                                                   − 1 < x + 2 < 1,
                                                                   − 3 < x < −1.

           Ряд расходится при x ∈ (− ∞; − 3) Υ (− 1; + ∞ ).

           Радиус сходимости равен 1.

           Исследуем ряд на сходимость на концах интервала:

            ∞                                          ∞
                    n+3                                    n+3
x = −3 :    ∑       2
                             ⋅ (− 3 + 2 ) =   n
                                                      ∑        2
                                                                        ⋅ (− 1)n – знакочередующийся ряд.
           n =0 n       +1                            n =0 n       +1

           Так как:

           1. a1 > a 2 > a 3 > ...

                                          n+3
           2.       lim an = lim    = 0 , т.к. выполняются оба условия теоремы
                    n→∞           n→∞ n 2
                                 +1
                Лейбница, то этот знакочередующийся ряд сходится.

                ∞                                      ∞
                    n+3                                    n+3
x = −1 :        ∑ 2
                              ⋅ (− 1 + 2 )n = ∑             2
                                                                         – числовой положительный ряд.
            n =0 n + 1                                n =0 n + 1

                                          ∞
                                                  1
           Рассмотрим ряд              ∑n             – гармонический ряд, он расходится.
                                       n =1

                                                                                                            35

Страницы