Методические рекомендации по выполнению контрольных работ по математике. Кулиш Н.В - 36 стр.

      Так как

           n+3 1          n 2 + 3n
       lim        : = lim 2        = 1,
       n→∞ n 2 + 1 n  n →∞ n + 1


                                                            ∞
                                                                n+3
      то по признаку сравнения ряд                          ∑    2
                                                                        – расходится.
                                                           n =0 n + 1

                               ∞
                                       n+3
      Тогда ряд              ∑          2
                                                 ⋅ (− 1)n – сходится условно.
                           n =0 n           +1

      Ответ: − 3 ≤ х < −1, в точке х = – 3 ряд сходится условно.


      Задача 13.

       Вычислить приближённо с точностью до 0,001 определённый интеграл,
используя разложение подынтегральной функции в степенной ряд.

           0
                     dx
           ∫    3
                    1 + x2
                               .
       − 0, 6


      Решение:
      Воспользуемся разложением функции в биномиальный ряд:

                                            1

       3
                1
                     2
                           (
                          = 1+         x    )
                                         2 −3
                                                 =1−
                                                       1 2 1 4 4 1⋅ 4 ⋅ 7 6
                                                       3
                                                         x + ⋅ ⋅x −
                                                            3 6     3⋅ 6⋅ 9
                                                                            ⋅ x + ...,       x < 1.
           1+ x

      Так как отрезок интегрирования [– 0,6; 0] находится внутри интервала
сходимости биномиального ряда, то ряд можно почленно интегрировать.
      Получаем:

           0                            0
                     dx                        1 2 1⋅ 4 4 1⋅ 4 ⋅ 7 6           
           ∫                       =    ∫     1 − x +
                                                       3⋅6
                                                           ⋅x −
                                                                3⋅6⋅9
                                                                      ⋅ x + ...  dx =
                                       − 0, 6                                  
       − 0, 6
                3
                    1 + x2                        3
                                                                                0
             1          1⋅ 4         1⋅ 4 ⋅ 7            
       =x −     ⋅ x3 +       ⋅ x5 −           ⋅ x 7 + ...                              =
            3⋅3        3⋅6⋅5        3⋅6⋅9⋅7                                   − 0, 6




36