Методические рекомендации по выполнению контрольных работ по математике. Кулиш Н.В - 38 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ОГУ | Оренбург

Составители: 

Рубрика: 

где
u(x) и v(x) – новые неизвестные функции.
Имеем
.
dx
dv
uv
dx
du
dx
dy
+=
Подставляя
у и
dx
dy
в исходное уравнение, получим:
,2sincos xxuv
dx
dv
uv
dx
du
=−+
.2sincos xxv
dx
dv
uv
dx
du
=
−+
Функцию
v(x) найдём из условия .0cos =− xv
dx
dv
Берём любое частное
решение этого уравнения.
xv
dx
dv
cos= – это уравнение с разделяющимися
переменными,
.cos dxx
v
dv
=
()
∫∫
±==+=
x
exvxvCdxx
v
dv
sin
,sinln,cos
()
x
exv
sin
=
– это его частное решение,
берем
.
Тогда
x
dx
du
e
x
2sin
sin
=⋅ . Откуда
()
∫∫
−
−
== dxxxedxxexu
xx
cossin22sin
sinsin
, т. к.
x
x
x
cossin22sin = .
Далее сделаем замену переменной d
t
dx
x
t
x
=
=
cos,sin , тогда
. Проинтегрируем по частям
∫
−
= dteu
t
2
∫∫
==−=
−
.,, vddtetuudvuvvdu
t
Отсюда
∫
=−==
−−
dtudedte
tt
,v , значит:
38
        где u(x) и v(x) – новые неизвестные функции.

        Имеем

         dy du  dv
           = v+u .
         dx dx  dx

                             dy
        Подставляя у и          в исходное уравнение, получим:
                             dx

         du     dv
            v+u    − uv cos x = sin 2 x,
         dx     dx

         du        dv        
            v + u  − v cos x  = sin 2 x.
         dx        dx        

                                                        dv
        Функцию v(x) найдём из условия                     − v cos x = 0. Берём любое частное
                                                        dx
                                     dv
решение этого уравнения.                = v cos x – это уравнение с разделяющимися
                                     dx
                  dv
переменными,         = cos x dx.
                  v

           dv
         ∫     = ∫ cos x dx + C , ln v = sin x, v ( x ) = ± e sin x – это его частное решение,
            v
берем v ( x ) = e sin x .

                        du
        Тогда esinx ⋅      = sin2x. Откуда
                        dx

        u( x ) = ∫ e − sin x sin 2 x dx = ∫ e − sin x 2 sin x cos x dx , т. к. sin 2 x = 2 sin x cos x .

        Далее      сделаем        замену       переменной           sin x = t, cos x dx = dt ,      тогда
        −t
u = 2∫ e dt . Проинтегрируем по частям

                                         −t
        ∫ ud v = uv − ∫ vd u, u = t , e dt = d v.
        Отсюда v = ∫ e −t dt = −e −t , du = dt , значит:



38

Страницы