Методические рекомендации по выполнению контрольных работ по математике. Кулиш Н.В - 40 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ОГУ | Оренбург

Составители: 

Рубрика: 

Подставляя
, , в исходное неоднородное уравнение, получим:
чн
y
чн
y
′
чн
y
′′
() ()
xexBAexBAe
xxx
sin25sin34cos43 =++− .
Разделим обе части уравнения на e , т.к.
x
0
≠
x
e , получим:
()()
xxBAxBA sin25sin34cos43
=
++− .
Сравнивая коэффициенты при cos x, sin x, получим систему уравнений:
=+
=−
=
×
×
=+
=−
.1001216
,0129
4
3
2534
043
BA
BA
BA
BA
Значит, решение этой системы 3,4
=
=
B
A
и, следовательно:
()
xxey
x
чн
sin3cos4 += .
Общее решение данного уравнения:
()
(
)
xxeexccy
xx
он
sin3cos4
3
21
+⋅+⋅+= .
Найдём частное решение исходного уравнения, удовлетворяющее
начальным условиям
()
(
)
20,10
=
′
= yy , т.е. найдём значения произвольных
постоянных
и c
1
c
2
()
(
)
(
)
xxexxeexccecy
xxxx
ом
cos3sin4sin3cos4
3
21
3
2
+−+++++=
′
.
Подставим заданные начальные условия в и
он
y :
он
y
′
() ()
() ()()
−=
−=
++=
−=
++++++=
+++=
,2
,3
,72
,3
;300402
,0401
2
1
12
1
000
12
00
1
c
c
cc
c
eeecc
eec
т.е. частное решение, удовлетворяющее заданным начальным условиям
() ()
(
)
(
)
()( )
.sin3cos423
sin3cos423:20,10
3
3
xxexe
xxeexyуy
xx
xx
+++−=
=++−−==
′
=
Ответ:
()
(
)
xxeexccy
xx
он
sin3cos4
3
21
+++= ;
частное решение, удовлетворяющее начальным
40
                         ′ , yчн
       Подставляя yчн , yчн   ′′ в исходное неоднородное уравнение, получим:

       e x (3 A − 4 B )cos x + e x (4 A + 3B )sin x = 25e x sin x .

       Разделим обе части уравнения на e x , т.к. e x ≠ 0 , получим:
       (3 A − 4 B )cos x + (4 A + 3B )sin x = 25 sin x .

       Сравнивая коэффициенты при cos x, sin x, получим систему уравнений:

       3 A − 4 B = 0 × 3   9 A − 12 B = 0,
                         = 
       4 A + 3B = 25 × 4   16 A + 12 B = 100.

       Значит, решение этой системы A = 4, B = 3 и, следовательно:

       yчн = e x (4 cos x + 3 sin x ) .

       Общее решение данного уравнения:

       y он = (c1 + xc 2 ) ⋅ e 3 x + e x ⋅ (4cos x + 3 sin x ) .

       Найдём частное решение исходного уравнения, удовлетворяющее
начальным условиям y (0 ) = 1, y ′(0 ) = 2 , т.е. найдём значения произвольных
постоянных c1 и c2

         ′ = c 2 e 3 x + (c1 + xc 2 ) e 3 x + e x (4 cos x + 3 sin x ) + e x (− 4 sin x + 3 cos x ) .
       y ом

                                                     ′ :
       Подставим заданные начальные условия в yон и yон

       1 = (c1 + 0) e 0 + e 0 (4 + 0),                           c1 = −3,              c1 = −3,
                                                                                        
        2 = c 2 + (c1 + 0) e 0 + e 0 (4 + 0) + e 0 (0 + 3);      2 = c 2 + c1 + 7,     c 2 = −2,



       т.е. частное решение, удовлетворяющее заданным начальным условиям

       y (0 ) = 1, у ′(0 ) = 2 :   y = (− 3 − 2 x ) e 3 x + e x (4 cos x + 3 sin x ) =


                                    = − e 3 x (3 + 2 x ) + e x (4 cos x + 3 sin x ).

       Ответ: yон= (c1 + c2x)e3x + ex (4cosx + 3sin x);
              частное решение, удовлетворяющее начальным
40

Страницы