Методические рекомендации по выполнению контрольных работ по математике. Кулиш Н.В - 39 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ОГУ | Оренбург

Составители: 

Рубрика: 

(
)
(
)
Cetedteteu
tttt
+−−=+−=
−
−
−−
∫
22 ,
()
(
)
(
)
.1sin2sin2
sinsinsin
CxeCexexu
xxx
++−=+−−=
−
−−
Следовательно, общее решение будет:
() ()
(
)
(
)
xxx
CexCxeexvxuy
sinsinsin
2sin21sin2 +−−=++−=⋅=
−
.
Ответ:
.2sin2
sin x
Cexy +−−=
Задача 15.
Решить задачу Коши.
(
)
(
)
.20,10,sin2596 =
′
==+
′
−
′′
yyxeyyy
x
Решение:
Общее решение неоднородного линейного дифференциального
уравнения имеет вид:
чнооон
yyy
+
=
(общее решение неоднородного
дифференциального уравнения равно сумме общего решения соответствующего
однородного уравнения и частного решения неоднородного уравнения).
Решим однородное уравнение 096
=
+
′
−
′
′
yyy – это линейное
однородное дифференциальное уравнение с постоянными коэффициентами.
Характеристическое уравнение
(
)
3,09
2
=−=+ k ,06
2
− kk имеет корни
Общее решение однородного уравнения:
.3
21
== kk
(
)
xxx
оо
exccexcecy
3
21
3
2
3
1
⋅+=+= ,
где С
1
, С
2
– произвольные постоянные.
Частное решение однородного уравнения имеет вид
(
)
xBxAey
x
чн
sincos += ,
где А, В – некоторые постоянные, подлежащие определению.
()
(
)
()( )(
.sincoscossin2sincos
,cossinsincos
xBxAexBxAexBxAey
xBxAexBxAey
xxx
чн
xx
чн
−−++−++=
′′
+−++=
′
)
39
             (                   ) (
      u = 2 − te −t + ∫ e −t dt = 2 − te −t − e −t + C ,  )
                 (                            )
      u ( x ) = 2 − sin xe − sin x − e − sin x + C = −2e − sin x (sin x + 1) + C.

      Следовательно, общее решение будет:

                                 (                                 )
       y = u ( x ) ⋅ v( x ) = e sin x − 2e − sin x (sin x + 1) + C = −2 sin x − 2 + Ce sin x .

      Ответ: y = −2 sin x − 2 + Ce sin x .


      Задача 15.

      Решить задачу Коши.

       y ′′ − 6 y ′ + 9 y = 25e x sin x,     y (0) = 1,       y ′(0) = 2.

         Решение:
         Общее решение неоднородного линейного дифференциального
уравнения имеет вид: yон = yоо + yчн (общее решение неоднородного
дифференциального уравнения равно сумме общего решения соответствующего
однородного уравнения и частного решения неоднородного уравнения).
         Решим однородное уравнение y ′′ − 6 y ′ + 9 y = 0 – это линейное
однородное дифференциальное уравнение с постоянными коэффициентами.
Характеристическое уравнение k 2 − 6k + 9 = 0, (k − 3)2 = 0, имеет корни
k1 = k 2 = 3. Общее решение однородного уравнения:

                          y оо = c1 e 3 x + xc 2 e 3 x = (c1 + c 2 x ) ⋅ e 3 x ,

      где С1, С2 – произвольные постоянные.

      Частное решение однородного уравнения имеет вид

                                     yчн = e x ( A cos x + B sin x ) ,

      где А, В – некоторые постоянные, подлежащие определению.
         ′ = e x ( A cos x + B sin x ) + e x (− A sin x + B cos x ),
       y чн


         ′′ = e x ( A cos x + B sin x ) + 2e x (− A sin x + B cos x ) + e x (− A cos x − B sin x ).
       y чн


                                                                                                 39

Страницы