Логика. Купарашвили М.Д - 24 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ОмГУ | Омск

Составители: 

Рубрика: 

47
Условие необходимо относительно некоторого класса, если
все элементы этого класса выполняют его. Например, класс берез
включен в класс деревьев, но не равен ему. Есть деревья, которые не
являются березами. Однако условие «быть деревом» для березы явля-
ется обязательным, так как все березы – деревья.
Условие достаточно относительно некоторого класса, если
некоторые, а
может быть и все, элементы этого класса выполняют
и ни один элемент из дополнения к этому классу не выполняет данное
условие. Например, «быть березой» достаточное условие, чтобы
включить ее в класс деревьев, так как все березы – деревья и ни одна
не-береза не является деревом.
• Эквивалентность – это сложное суждение,
которое прини-
мает логическое значение истины тогда и только тогда, когда вхо-
дящие в него суждения обладают одинаковым логическим значением,
т. е. одновременно либо истинны, либо ложны. Логический союз эк-
вивалентности выражается такими грамматическими союзами, как
«тогда и только тогда, когда», «если и только если». Например, «Если
и только если
треугольник равносторонний, то он и равноугольный».
Символически эквивалентность записывается
qp
↔
или
p
q
≡
(«если и только если р, то q»). Логическое значение эквивалентности
соответствует таблице истинности:
p q
qp
↔
И И И
И Л Л
Л И Л
Л Л И
Следует отметить, что эквивалентное суждение, со связанны-
ми по содержанию членами, выражает одновременно достаточное и
необходимое условие, т. е. во всех случаях эквивалентности –
p
q↔ – мы имеем конъюнкцию двух импликативных суждений:
()()
pq qp⊃∧⊃
.
• Отрицание – это логическая операция, с помощью которой
из одного высказывания получают новое, при этом простое суждение
P превращается в сложное, и если исходное простое суждение ис-
тинно, то новое сложное суждение ложно – «неверно, что P».
48
Р
P
И Л
Л И
• Двойное отрицание – это операция по отрицанию отрица-
тельного суждения. Повторное отрицание ведет к утверждению
или, иначе, отрицание отрицания равносильно утверждению:
PP⊃
– «если P, то неверно, что не-P», или
PP
≡
– «неверно, что не-P,
если и только если верно, что P».
Р
P
И И
Л Л
2.6. Выражение одних логических связок
посредством других
Рассмотренные выше логические союзы взаимозаменяемы, т. е.
равносильны и выразимы через другие логические союзы. Например:
1.
()()
p
qpq
⊃
≡∨ – импликация через дизъюнкцию;
2. ()()
p
qpq
⊃
≡∧ – импликация через конъюнкцию;
3.
()()
qqp⊃≡⊃ – импликация через импликацию, так на-
зываемый закон простой (слева-направо) и сильной (справа-налево)
контрапозиции;
4.
()()
p
qpq
∧
≡∨ – конъюнкция через дизъюнкцию;
5. ()()
p
qpq∨≡ ∧ – дизъюнкция через конъюнкцию;
6. ()( )
p
qpq
∧
≡⊃ – конъюнкция через импликацию;
7.
()( )
p
qpq∨≡ ⊃
– дизъюнкция через импликацию;
8. ()()()
p
qpqpq
↔
≡∨∨∨ – эквивалентность через дизъ-
юнкцию; 
       Условие необходимо относительно некоторого класса, если                                 Р                 P
все элементы этого класса выполняют его. Например, класс берез                                 И                 Л
включен в класс деревьев, но не равен ему. Есть деревья, которые не
                                                                                               Л                 И
являются березами. Однако условие «быть деревом» для березы явля-
ется обязательным, так как все березы – деревья.                            • Двойное отрицание – это операция по отрицанию отрица-
       Условие достаточно относительно некоторого класса, если         тельного суждения. Повторное отрицание ведет к утверждению
некоторые, а может быть и все, элементы этого класса выполняют
                                                                       или, иначе, отрицание отрицания равносильно утверждению: P ⊃ P
и ни один элемент из дополнения к этому классу не выполняет данное
условие. Например, «быть березой» достаточное условие, чтобы           – «если P, то неверно, что не-P», или P ≡ P – «неверно, что не-P,
включить ее в класс деревьев, так как все березы – деревья и ни одна   если и только если верно, что P».
не-береза не является деревом.                                                                 Р
       • Эквивалентность – это сложное суждение, которое прини-
                                                                                                                 P
мает логическое значение истины тогда и только тогда, когда вхо-                               И                 И
дящие в него суждения обладают одинаковым логическим значением,                                Л                 Л
т. е. одновременно либо истинны, либо ложны. Логический союз эк-
вивалентности выражается такими грамматическими союзами, как
«тогда и только тогда, когда», «если и только если». Например, «Если              2.6. Выражение одних логических связок
и только если треугольник равносторонний, то он и равноугольный».                           посредством других
Символически эквивалентность записывается p ↔ q или p ≡ q                    Рассмотренные выше логические союзы взаимозаменяемы, т. е.
(«если и только если р, то q»). Логическое значение эквивалентности    равносильны и выразимы через другие логические союзы. Например:
соответствует таблице истинности:                                            1. ( p ⊃ q) ≡ ( p ∨ q) – импликация через дизъюнкцию;
                p                q              p↔q
                                                                             2. ( p ⊃ q) ≡ ( p ∧ q) – импликация через конъюнкцию;
                И                И                 И
                И                Л                 Л                         3. ( p ⊃ q) ≡ ( q ⊃ p ) – импликация через импликацию, так на-
                Л                И                 Л                   зываемый закон простой (слева-направо) и сильной (справа-налево)
                Л                Л                 И                   контрапозиции;
     Следует отметить, что эквивалентное суждение, со связанны-              4. ( p ∧ q) ≡ ( p ∨ q) – конъюнкция через дизъюнкцию;
ми по содержанию членами, выражает одновременно достаточное и
необходимое условие, т. е. во всех случаях эквивалентности –                 5. ( p ∨ q) ≡ ( p ∧ q) – дизъюнкция через конъюнкцию;
 p ↔ q – мы имеем конъюнкцию двух импликативных суждений:                    6. ( p ∧ q) ≡ ( p ⊃ q) – конъюнкция через импликацию;
( p ⊃ q) ∧ (q ⊃ p ) .                                                        7. ( p ∨ q) ≡ ( p ⊃ q) – дизъюнкция через импликацию;
      • Отрицание – это логическая операция, с помощью которой
из одного высказывания получают новое, при этом простое суждение            8. ( p ↔ q) ≡ ( p ∨ q ) ∨ ( p ∨ q) – эквивалентность через дизъ-
P превращается в сложное, и если исходное простое суждение ис-         юнкцию;
тинно, то новое сложное суждение ложно – «неверно, что P».


                                47                                                                      48

Страницы