Неклассическая логика. Купарашвили М.Д. - 10 стр.

числяемых и не предъявляемых предметов. В этой связи в интуи-      конечно лишь в том смысле, что его элементы можно продолжать
ционистской логике не работают не только законы исключенного       неограниченно конструировать. А поскольку в операциях, вклю-
третьего, сведение к абсурду, снятие двойного отрицания, но и      чающих в себя бесконечные совокупности, которые находятся в
отрицание этих законов также не может иметь место.                 процесс роста, нельзя решить, какова будет последующая альтер-
      Причину появления парадоксов интуиционисты увидели в         натива, то в таких операциях невозможно использовать закон ис-
том, что существующая теория множеств исходит из понятия ак-       ключенного третьего.
туальной (т. е. завершенной) бесконечности, а адепты этой теории         Таким образом, интуиционисты не отрицают применение
переносят принцип конечных множеств на область бесконечных         данного закона к конечным множествам. Отсюда в качестве осно-
множеств.                                                          вы интуиционистской логики выступает признание неправомер-
      Интуиционисты предложили исходить из абстракции потен-       ности переноса некоторых фундаментальных логических прин-
циальной, или становящейся, бесконечности. В прежней теории        ципов, применимых в рассуждениях о конечных множествах, на
множеств (канторовской) объект считался существующим в том         область бесконечных множеств. Брауэр считает, что если матема-
случае, когда он не содержал логического противоречия. Интуи-      тика как наука берет начало не из рациональных рассуждений, а
ционисты предложили объект считать существующим, если извес-       из интуиции, то с точки зрения фундаментальной математической
тен метод его конструирования, построения. Однако это возможно     интуиции некоторые принципы логики ошибочны. К примеру,
за счет отказа от универсальности закона исключенного третьего.    закон исключенного третьего утверждает, что истинным является
Как показала практика, это не решило проблему парадокса.           либо утверждение, либо его отрицание. В таком категорическом
      Если в аксиоматической теории множеств Кантора объект        виде закон может находить свое полное применение и оправдание
считается существующим в том случае, когда он не содержит фор-     лишь в конечных множествах, так как допускает возможность
мально-логического противоречия и его введение в теорию не при-    проверки включенных в нем элементов, тогда как в бесконечных
водит к противоречию, то в интуиционистской математике суще-       множествах принципиально отсутствует возможность проверки
ствующим признается только такой объект, который дан непо-         всех входящих объектов. Несмотря на это, действие закона рас-
средственно или который можно сконструировать. Отсюда суще-        пространяется и на них. В этом случае доказательство существо-
ствовать – значит быть построенным (А. Гейтинг). Если матема-      вания становится фиктивным, утверждается существующее не-
тический объект не построен с помощью умственного процесса,        что, но оно не предъявляется.
можно считать, что он не существует. Следовательно, существо-            Немецкий математик Г. Вейл пояснял, если рассматривать
вание – это мир мыслительных процессов, которые можно по-          конечный набор чисел и доказывать, что не все они четные, то по
строить в неограниченную последовательность шагов неопреде-        закону исключенного третьего следует: по крайней мере одно из
ленного повторения элементарных математических актов. Вся          них нечетное и существование в данном множестве такого числа
математика – это математические конструкции, а не устное или       подтверждается его предъявлением. Если же рассматриваемое
письменное изложение. Интуиция не зависит от языка. Язык ну-       множество бесконечно, то сделать заключение о существовании
жен лишь для того, чтобы сообщить результаты интуитивной           хотя бы одного нечетного среди них нельзя в связи с отсутствием
мыслительной деятельности. Исходя из всего этого, интуициони-      возможности проверить это. Вейл утверждает, что в таком случае
сты утверждают, что в математике и логике невозможно приме-        закон исключенного третьего остается вне сферы применения че-
нение понятия актуальной бесконечности9.                           ловеческой логики, им могло бы воспользоваться только всемогу-
      Любое бесконечное множество лишь потенциально, его           щее и всезнающее существо, которое способно единым взглядом
нельзя рассматривать как что-то готовое и законченное. Оно бес-    обозреть бесконечную последовательность натуральных чисел.

                              19                                                                 20