Неклассическая логика. Купарашвили М.Д. - 9 стр.

       Решетка М называется дистрибутивной, если при любых а,           Тема 2. ИНТУИЦИОНИСТСКАЯ ЛОГИКА
в, с ∈ М выполняются А ∩ (В UС) = (А∩В) U (А∩С)
                     А U (В∩ С) = (АUВ) ∩ (АUС).                       Интуиционизм – это направление логики, которое в интуи-
       Дистрибутивная решетка называется булевой алгеброй, в     ции усматривает основание математики и формальной логики.
которой имеются два элемента (нуль и единица), причем такие      Оно возникло в начале ХХ в., когда теория множеств оказалась в
элементы, что аU0=а, а∩1=а, и для любого элемента а имеется      полосе кризиса в связи с обнаружением парадоксов, и, следова-
такой элемент ┐а, что аU ┐а= 1, а ∩┐а=0.                         тельно, формировалось на базе отрицания принципа двузначности
       Решетка М называется импликативной, если А→В сущест-      логики. Оно утверждает, что помимо истины и лжи суждения мо-
вует для всех элементов а, в ∈ М. Каждая импликативная решетка   гут иметь и другие значения. Интуиционистская логика оформля-
с нулевым элементом называется псевдобулевой алгеброй. Каждая    ется в 1930 г. в работах А. Гейтинга в виде исчисления, однако
импликативная решетка может рассматриваться как алгебра с        основанием для нее послужила суровая критика классической ло-
тремя бинарными операциями М, ∩, U, →, а каждая псевдобулева     гики Л. Брауэром (1881–1961), который и был систематизатором
алгебра М – как алгебра с тремя бинарными операциями ∩, U, →     интуиционистской логики. Своим идейным предшественником
и с одной унарной операцией М, ∩, U, →,⎯.                        интуиционисты считают Анри Пуанкаре (1854–1912).
       Решетка М называется булевой алгеброй, если она дистри-         Изначально интуиция (как созерцание пристальное и вни-
бутивна и каждый элемент а М имеет дополнение не-а, так что      мательное) и разум с ее помощью строят натуральные числа и все
       (а ∩┐а) U (в=в),                                          множества натуральных и действительных чисел. Никаких других
       (а U ┐а) ∩ (в=в).                                         математических объектов, кроме построенных человеком интуи-
                                                                 тивно, чистым мышлением, не существует. Причем все эти объ-
                                                                 екты постоянно пребывают в процессе роста и практически не
                                                                 предполагают существование совершенного объекта.
                                                                       Интуиционизм отказался от канторовсого понимания бес-
                                                                 конечности как актуальной бесконечности и заменил ее понятием
                                                                 потенциальной, становящейся бесконечности, причем один из
                                                                 первых парадоксов – парадокс, возникший в связи с определени-
                                                                 ем понятия мощности.
                                                                       Голландский математик Л. Брауэр подвергает критике не-
                                                                 ограниченную приложимость в математических рассуждениях
                                                                 классических законов исключенного третьего, снятие двойного
                                                                 отрицания («если неверно, что не-а, то а») и косвенного доказа-
                                                                 тельства (сведение к абсурду: математический объект существует,
                                                                 если предположение о его несуществовании приводит к противо-
                                                                 речию).
                                                                       В 1930 г. ученик Брауэра А. Гейтинг публикует работу, в
                                                                 которой излагается систематизированная теория интуиционист-
                                                                 ской логики. В ней отрицаются все законы классической логики,
                                                                 которые используются для доказательства существования не вы-

                             17                                                                18