Неклассическая логика. Купарашвили М.Д. - 11 стр.

      Кроме потенциальной бесконечности интуиционистская ло-       Доказать, что истинное суждение «всем элементам данного мно-
гика использует абстракцию отождествления, когда мысленно          жества присуще свойства А» или «ни одному элементу данного
отвлекаются от несходных свойств предметов и вычленяют толь-       множества не присуще свойства А» невозможно, так как ряд этих
ко их общие свойства.                                              элементов потенциально бесконечен, отсюда проверить все аль-
      Далее интуиционисты по-другому толкуют смысл пропози-        тернативы не представляется возможным.
циональных связок.                                                       9 Конъюнкция (А٨В) истинна только тогда, когда можно
      9 Импликация считается истинной, если существует метод,      утверждать, что как А, так и В истинны. Отрицание ┐А высказы-
посредством которого из доказательства для А можно выводить        вания А можно утверждать лишь в том случае, если имеется по-
доказательство для В. К примеру, в случае ┐Эх ┐А(х) →∀ А (х) не    строение, приводящее к противоречию из предположения о том,
существует такой метод, который при наличии доказательства         что построение, требуемое высказыванием А, выполнено.
истинности ┐Эх ┐А(х) позволил бы нам получить интуиционист-              Интуиционистская логика не принимает закона двойного
ское доказательство истинности∀А (х), т. е. построить соответст-   отрицания, или снятия отрицания: ┐┐А→А. Однако правило так
вующее число n, так как математик с позиции классической логи-     называемого навешивания двойного отрицания (правила, по ко-
ки часто получает доказательство экзистенциального утвержде-       торому от формулы А можно переходить к формуле ┐┐А) интуи-
ния ∀А (х), обосновывая сначала предположение ┐Эх ┐А(х). Далее     ционисты признают.
он использует тавтологию ┐Эх ┐А(х) →∀А (х). Применяя modus               Что касается законов тождества и противоречия, интуицио-
ponens, он получает∀А (х). Интуиционист не принимает такого ме-    нисты признают их в неограниченном смысле.
тода, так как в нем не содержится метода для построения такого           Таким образом, интуиционисты исследуют конструктивные
числа n, что имеет место А (n).                                    объекты, т. е. те, существование которых считается доказанным
      В интерпретации А.А. Маркова импликацию можно утвер-         только тогда, когда указывается способ их построения, конструи-
ждать тогда и только тогда, когда мы располагаем таким построе-    рования10.
нием, которое, будучи объединенным с любым построением, тре-             Аксиомы интуитивистской логики:
буемым высказыванием А, дает построение, требуемое высказы-          А→(В→А)                А→(А٧В)
ванием В.                                                            [А→(В→С)]→[(А→В)→(А    В→(А٧В)
      9 Дизъюнкция является истинной, если истинно хотя бы         →С)]                     (А→С)→[(В→С)→((А ٧В)
одно из предложений и при этом существует способ, позволяю-          А→(В→(А٨В))         → С)]
щий распознать среди них истинное суждений. Однако если              (А٨В) →А               (А→В)→[(А→┐В)→(┐А)]
встречается дизъюнкция (А٧┐А) , которая в классической логике        (А٨В) →В               (┐А) →(А→В)
является тавтологией (т. е. тождественно-истинной формулой),         А→┐┐А
принимающей значение истины при всех значениях истинности
входящих в нее переменных, то интуитивист в результате своего           Такие формулы ими не принимаются:
понимания истинности дизъюнкции не принимает эту тавтоло-               А٨ ┐ А
гию, так как нет общего метода распознавания по данному суж-            ┐┐А→А
дению А, истинно А или ┐А. Другими словами, отвергается при-            ((А→В)→ ┐А٨В))
менимость закона исключенного третьего для бесконечных мно-             ┐ (А٨В) →(┐А ٧┐В)
жеств. Интуиционист здесь рассуждает так. Допустим, что неко-           (┐А→В) →(┐В→А)
торому элементу бесконечного множества присуще свойство А.

                              21                                                                 22