Неклассическая логика. Купарашвили М.Д. - 8 стр.

     Решетка, или структура                                            П.Н. Новиков называет упорядоченное множество вполне
     Решетка – это упорядоченное множество М, взятое с двумя     упорядоченным, если каждая его непустая часть содержит элемент,
бинарными операциями: объединением и пересечением, при ус-       предшествующий всем другим элементам этой части. Операции
ловии, что выполняются следующие тождества, которые могут        по упорядочению множеств определяются такими теоремами, как:
быть исполнены как аксиомы в виде законов коммутативности,       1) любое вполне упорядоченное множество имеет первый элемент.
ассоциативности и элиминации для сложения и пересечения:         Каждый элемент, кроме последнего (если такой существует), име-
     1. АUВ =ВUА                                                 ет последователя (следующего за); 2) никакое вполне упорядо-
       А∩В =В∩А                                                  ченное множество не подобно своему отрезку; 3) никакие два раз-
                                                                 личные отрезка вполне упорядоченного множества не подобны;
     2. АU(ВUС) = (АUВ)UС                                        4) если множества А и В вполне упорядочены, то либо они подоб-
       А∩(В ∩С)= (А∩В) ∩С                                        ны, либо множество А подобно отрезку множества В, либо мно-
                                                                 жество В подобно отрезку множества А.
      3. АU(А∩В) =А                                                    В этом контексте операции объединения и пересечения
        А∩(АUВ)=А                                                множества характеризуются следующими свойствами:
      Упорядоченное множество – это такое множество, в кото-
ром элементы подчинены правилу предшествования, или следо-            4. а U а= а.                     1. а∩ а= а.
вания (обозначается ≤ – знак отношения порядка на множество).         5. а ≤ а U в                     2. а∩ в ≤ а
Или, по определению В. Серпинского, множество называется упо-         6. в ≤ а U в                     3. а∩в ≤ в
рядоченным, если для любых двух различных элементов опреде-           7. а ≤ с и в≤ с влекут аU        4. с ≤ а и с ≤ в влекут
лено правило, по которому один из этих элементов предшествует            в≤ с                             с≤ а∩ в
другому. Каждое упорядоченное множество удовлетворяет сле-            8. а≤ в тогда и только           5. в≤ а тогда и только
дующие аксиомы:                                                          тогда когда а Uв =в              тогда когда а ∩ в = в
      1) из любых двух различных элементов а′ и а″ , принадле-        9. а ≤с и в≤ d влекут            6. а≤ с и в≤ d влекут
жащих множеству А, один предшествует другому, а′ ≤ а″;                   аUв ≤ сUd                        а∩в ≤ с∩d
      2) отношение а′ ≤ а″ и а″ ≤ а′ исключают друг друга;
      3) если а′ ≤ а″ и а′ ≤ а′″ , то а′ ≤ а″;                          Каждая решетка М может быть рассмотрена как универ-
      4) если а′ ≤ а″ и а″ ≤ а′ , то а′ = а″;                    сальная алгебра (М, U, ∩), а именно булева алгебра, псевдоалгеб-
      5) а′ ≤ а″ или а″ ≤ а′ для всех а′, а″ ∈ А.                ра, топологическая алгебра и т. д.
      Не всякое множество может быть упорядочено. Считается,            Решетка имеет верхнюю границу элементов а, в ∈ М, если
что нельзя упорядочить множество всех множеств точек данной      а≤ а◦ при всех а ∈ М, которая (граница) обозначается посредством
прямой.                                                          аUв, или sup М (от лат. – supremus – верхний, высший).
      Множество является упорядоченным, если для его элемен-            Решетка имеет точную нижнюю границу элементов а, в ∈ М,
тов определен предикат от двух переменных, которые не рефлек-    если а≥а◦ при всех а ∈ М, которая (граница) обозначается посред-
сивны, но транзитивны и которые для произвольных отличных        ством а∩ в, или inf М (от лат. – infimus – низ).
друг от друга А и В выполняются либо для пары (АВ), либо для            Отношение порядка ≤ на множестве М называется отноше-
пары (ВА).                                                       нием решеточного порядка, если для любых а, в ∈ М элементы
                                                                 sup (а,в) и inf (а,в) существуют.

                             15                                                                   16