Задачи по радиоспектроскопии. Куприянова Г.С - 1 стр.

              I. Основные положения квантовой механики.
                            1.1. Определения. Постулаты. Теоремы
Определение 1. Оператором Α                 $ будем называть математическую операцию, в
результате которой из одной функции ƒ(х,y) получается другая функция F(х,y) этих же
переменных. Α      $ f(x,y)=F(x,y). Примеры: оператор проекции импульса на ось X
$Ρx =-ih∂/∂x, операторы положения частицы r, x, y, z.
Определение 2. Операторы Α                 $ иΒ$ , которые удовлетворяют cотношению вида
[Α $ Β$ ] =Α$ Β
              $ -Β $ Α $ =0                                                                       (Α.1)
называют коммутирующими.
Например, операторы Ρ$ x и х не коммутируют, так как
Ρ$ x х ⋅f(х) =-i h ⋅∂(x⋅f(x))/∂x=i h ⋅ƒ(x)-i h ⋅x⋅∂f(x)/∂x; x Ρ$ x ⋅f(x)= -i h ⋅x⋅∂f(x)/∂x ,
следовательно [ Ρ$ x x ] = -i h .Оператор положения и оператор импульса подчиняются
гейзенберговским коммутационным правилам.
                  [ Ρ$ x ⋅rj] = -i h δij, где δij =1, если i=j и δ ij =0, если i ≠ j, причем i, j =x, y, z

Определение 3. Оператор Α
                        $ называют эрмитовым, если выполняется следующее
соотношение
                        < f⎪ Α
                             $ ⎪ϕ > = ∫ ϕ ( Α
                                            $ f ) * dτ                                      (A.2)
Примеры эрмитовых операторов: x, - i h d/dx, Δ.
Постулат 1. Каждой наблюдаемой величине A соответствует эрмитов оператор Α
                                                                         $ . Ряд
операторов можно определить следующим образом. В классическом выражении для
соответствующей величины, представленной в декартовых координатах и импульсом,
необходимо, (1) оставить без изменения время и координаты; (2) каждую составляю-
щую импульса Ρx, Ρy, Ρz заменить соответствующим эрмитовым оператором:
Рх→ Ρ$ x =-i h ∂ /∂x,     Рy→ Ρ$ y = -i h ∂/∂y,   Рz→ Ρ$ z =-i h ∂/∂z.

Постулат 2. Каждое состояние системы частиц полностью описывается функцией ко-
ординат и времени, называемой волновой функцией Ψ(r,t). Волновая функция должна
обладать следующими свойствами: существовать на всем интервале изменения
переменных; быть непрерывной, конечной и однозначной.
Постулат 3. Зависящая от времени волновая функция ψ(r, t) удовлетворяет зависящему
от времени уравнению Шредингера
H$ (t) ⎟ ψ (r, t)> = i h ∂/∂ t ⎟ψ (r,t) > ,                                             (A.3)
где H$ (t) -гамильтониан или оператор полной энергии системы.
Определение 4. Каждому оператору Α
                                 $ можно сопоставить линейное уравнение типа
$ ƒ =A ƒ,
Α                                                                                        (A.4)