Составители:
Рубрика:
4. Используя формализм матрицы плотности определить среднее значение
макроскопической намагниченности системы частиц со спином J=1/2, находящейся в
магнитном поле В
0z
в состоянии термодинамического равновесия при температуре Т.
Решение.
Гамильтониан системы частиц со спином J=1/2 дается выражением (1.3).
Макроскопическая намагниченность по определению равна суммарному магнитному
моменту всей системы:
<>=<>= <>ΜΙ
zz z
NN
μ
γ
h ,
где N-число частиц в единице объема, <μ
z
>- среднее значение проекции магнитного
момента на ось z.
Согласно свойствам матрицы плотности (A.21)
{}
<>= <>= ⋅ΜΙ Ι
zz z
NNSp
γγρ
hh
$
()
$
0 , (4.1)
где
ρ
()
exp( )
,0 =
−
H
kT
Z
здесь Z=Sp
()e
E
kT
n
−
.
В условиях теплового равновесия матрица плотности диагональна и заполнение
магнитных состояний соответствует распределению Больцмана.В
высокотемпературном приближении имеем
e
H
kT
H
kT
−
≅−1 ; Sp e J
H
kT
()
−
=+=212
Следовательно:
<>= ⋅ −⋅= ⋅ + ⋅=
+
ΜΙΙΙ
zzz
z
z
z
NSp
H
kT
NSp
B
kT
N
B
kT J
γγγ
γ
hhh
h
[(
$
)
$
](
$
)
()
1
221
0
2
22
0
, (4.2)
т.к.
Sp Sp
zz
(
$
), (
$
)ΙΙ==0
1
2
2
.
Полученное выражение представляет собой известный закон Кюри .
5. На основании решения нестационарного уравнения Шредингера найти закон измене-
ния средних значений проекций магнитных моментов на оси x,y,z в постоянном
магнитном поле В
0
( ось z-выбрана по направлению магнитного поля). Показать, что
среднее значение проекции магнитного момента на ось z не зависит от времени.
Сравнить результат с классическим описанием движения магнитного момента в
постоянном магнитном поле В
0.
(рассмотреть случай частицы со спином J=1/2).
4. Используя формализм матрицы плотности определить среднее значение
макроскопической намагниченности системы частиц со спином J=1/2, находящейся в
магнитном поле В0z в состоянии термодинамического равновесия при температуре Т.
Решение. Гамильтониан системы частиц со спином J=1/2 дается выражением (1.3).
Макроскопическая намагниченность по определению равна суммарному магнитному
моменту всей системы:
< Μ z >= N < μz >= N γ h < Ι z > ,
где N-число частиц в единице объема, <μz>- среднее значение проекции магнитного
момента на ось z.
Согласно свойствам матрицы плотности (A.21)
< Μ z >= Nγ h < Ι$ z >= Nγ h Sp ρ (0) ⋅ Ι$ z , { } (4.1)
H
exp( − ) −
En
где ρ (0) = kT , здесь Z=Sp (e kT
).
Z
В условиях теплового равновесия матрица плотности диагональна и заполнение
магнитных состояний соответствует распределению Больцмана.В
высокотемпературном приближении имеем
H H
− H −
e kT
≅ 1− ; Sp( e kT
) = 2J + 1 = 2
k T
Следовательно:
H$ $ B γ 2 h 2 B0 z
< Μ z >= Nγ h ⋅ Sp[ (1 − ) ⋅ Ι z ] = Nγ h ⋅ Sp( Ι$ z + γ h 0 z ⋅ Ι 2z ) = N , (4.2)
kT kT 2 kT (2 J + 1)
1
т.к. Sp( Ι$ z ) = 0, Sp( Ι$ z2 ) = .
2
Полученное выражение представляет собой известный закон Кюри .
5. На основании решения нестационарного уравнения Шредингера найти закон измене-
ния средних значений проекций магнитных моментов на оси x,y,z в постоянном
магнитном поле В0 ( ось z-выбрана по направлению магнитного поля). Показать, что
среднее значение проекции магнитного момента на ось z не зависит от времени.
Сравнить результат с классическим описанием движения магнитного момента в
постоянном магнитном поле В0. (рассмотреть случай частицы со спином J=1/2).
