Составители:
Рубрика:
Решение. Из решения стационарного уравнения Шредингера (1.5) (задача 1) было
получено, что частица со спином J=1/2 в магнитном поле имеет два собственных
состояния |α> и |β> , соответствующие магнитным квантовым числам m
1
=1/2 и m
2
=-1/2.
Тогда зависящее от времени нестационарное решение уравнения Шредингера
(постулат 3, А.3) соответствующее данному значению m, можно записать в виде
|() | ,| () |
φαφ β
1
2
1
2
1
2
1
2
te te
i
Et
i
Et
>= > >= >
−
−
−
−
hh
. (5.1)
Общее решение будет (3.4)
|() | () |
ψ
φ
φ
tc tc>= > + >
−−
1
2
1
2
1
2
1
2
(5.2)
Cогласно постулату 5 (A.8), среднее значение проекции магнитного момента на ось х
будет равно
<>=< >
μ
ψ
μ
ψ
xx
tt()|
$
|() . (5.3)
Подставим волновую функцию (5.3) получим
< >= < >⋅ ⋅ ⋅ +< >⋅ ⋅ ⋅
∗
−
−
−
∗
μγαβ βα
ωω
xx
it
x
it
cc e c ceh (|
$
||
$
|)ΙΙ
1
2
1
2
1
2
1
2
00
,
здесь использованы следующие обозначения
μγ ωγ
xx
B==h
$
,Ι
00
(задача 1). Учтем,
что диагональные матричные элемента оператора I
x
равны нулю, а элементы
<>=<>
•
αβ βα
|
$
||
$
|ΙΙ
xx
и
()cc c c
1
2
1
2
1
2
1
2
∗
−
∗
−
∗
⋅=⋅
. Тогда имеем
(
)
<>= < >
−
•
−
μγ αβ
ω
xx
it
tecc() Re |
$
|h Ι
0
1
2
1
2
(5.4)
где Re -обозначает действительную часть, Учитывая, что <α⎢Ι
x
⎢β>=1/2, получим
<>= ⋅
•
−
μγω
x
ttcc() cos
1
2
0
1
2
1
2
h
Аналогично найдем среднее значение проекции магнитного момента на ось у
(
)
<>= < >
−•
−
μγ αβ
ω
yy
it
tecc() Re |
$
|h Ι
0
1
2
1
2
.
Подставляя <α⎢Ι
y
⎢β>=-i/2, найдем
<>= − − =− ⋅
∗
μγ ω ω γω
y
t
i
tt tcc() Re( cos sin ) sinhh
2
1
2
1
2
00 0
1
2
1
2
(5.5)
Теперь вычислим среднее значение проекции магнитного момента на ось z
<>= < >+< >
μγαα ββ
zzz
tc c() ( |
$
||
$
|)h
1
2
1
2
22
ΙΙ (5.6)
Решение. Из решения стационарного уравнения Шредингера (1.5) (задача 1) было
получено, что частица со спином J=1/2 в магнитном поле имеет два собственных
состояния |α> и |β> , соответствующие магнитным квантовым числам m1=1/2 и m2=-1/2.
Тогда зависящее от времени нестационарное решение уравнения Шредингера
(постулат 3, А.3) соответствующее данному значению m, можно записать в виде
i i
− E 1 t − E 1 t
h h −
| φ 1 (t ) >= e 2
| α >, | φ 1 (t ) >= e 2
|β > . (5.1)
−
2 2
Общее решение будет (3.4)
|ψ (t ) >= c 1 |φ 1 (t ) > + c 1 |φ 1 > (5.2)
− −
2 2 2 2
Cогласно постулату 5 (A.8), среднее значение проекции магнитного момента на ось х
будет равно
< μ x >=< ψ (t )| μ$ x |ψ (t ) > . (5.3)
Подставим волновую функцию (5.3) получим
< μ x >= γ h ( < α | Ι$ x | β > ⋅c ∗1 ⋅ c 1 ⋅ e − i ω 0 t + < β | Ι$ x |α > ⋅c ∗ 1 ⋅ c 1 ⋅ e i ω 0 t ) ,
− −
2 2 2 2
здесь использованы следующие обозначения μ x = γ h Ι$ x , ω 0 = γ B0 (задача 1). Учтем,
что диагональные матричные элемента оператора Ix равны нулю, а элементы
< α | Ι$ x | β > • =< β | Ι$ x |α > и (c ∗1 ⋅ c 1 ) ∗ = c ∗ 1 ⋅ c 1 . Тогда имеем
− −
2 2 2 2
( −i ω t
< μ x (t ) >= γ h Re < α | Ι$ x | β > e 0 c •1 c− 1
2 2
) (5.4)
где Re -обозначает действительную часть, Учитывая, что <α⎢Ιx ⎢β>=1/2, получим
1
< μ x (t ) >= γ h cosω 0 t ⋅ c •1 c− 1
2 2 2
Аналогично найдем среднее значение проекции магнитного момента на ось у
(
< μ y (t ) >= γ h Re < α | Ι$ y | β > e − i ω 0 t c •1 c− 1 .
2 2
)
Подставляя <α⎢Ιy ⎢β>=-i/2, найдем
i 1 1
< μ y (t ) >= γ h Re ( − cosω 0 t − sin ω 0 t ) = − γ h sin ω 0 t ⋅ c ∗1 c 1 (5.5)
2 2 2 2 2
Теперь вычислим среднее значение проекции магнитного момента на ось z
< μ z (t ) >= γ h (c 12 < α | Ι$ z |α > + c 12 < β | Ι$ z | β >) (5.6)
2 2
