Надежность горных машин. Курбатова О.А - 45 стр.

      Функция нормального распределения описывается формулой

                                                          ( x − mx ) 2                          2
                                                 ∞ −                                       ∞ −z
                                        1                    2σ x2                   1
                 F ( x) =                        ∫e                       dx =             ∫e  2    dz ,    (4.8)
                                  σ x 2π      −∞                                     2π   −∞


          x − mx
где z =              .
            σx
      Так как интеграл
                                                                 z2
                                             1        0      −
                                                      ∫e         2    dz = 0,5 ,          то
                                             2π    −∞

                                                                          z2
                                                      1          x    −
                             F ( x) = 0,5 +                      ∫e       2    dz = 0,5 + Ф ( z ) ,         (4.9)
                                                      2π         0

                                  z2
                 1       x    −
где Ф ( z ) =            ∫e       2    dz - нормальная функция Лапласа.
                  2π 0
        Ф ( z ) является нечетной функцией, т.е. Ф (− z ) = Ф( z ) .
       Вероятность попадания случайной величины в заданный интервал
[α , β ] равна
                                                              β − тx        α − тх
                     P(α < X < β ) = Ф (                             ) − Ф(        )                       (4.10)
                                                                σx            σх
Для нормального закона распределения

                                  Р(т х − 3σ х < x < m x + 3σ ) = 0,997,
т.е. вероятность отклонения случайной величины от ее математического ожи-
дания за пределы 3σ очень мала и составляет всего лишь 0,3 % (рис. 4.2).
       Сближение параметров и оценок увеличивается с увеличением числа
испытаний.
       Математическое ожидание определяет на графике положение петли,
а среднее квадратическое отклонение – ширину петли (рис. 4.3).
       Кривая плотности распределения, тем острее и выше, чем меньше
σ х квантиль нормального сопротивления
                                            U p = ( x − mx ) / σ                                           (4.11)



                                                             44