Методы вычислений. Часть I. Численные методы алгебры. Курцева К.П - 4 стр.

      Введение.

       Под численным методом понимается такая интерпретация математической
модели, которая доступна для реализации на ЭВМ. В настоящее время численные
методы являются мощным математическим средством решения многих научно-
технических задач. Это связано как с невозможностью в большинстве случаев получить
точное аналитическое решение, так и со стремительным развитием компьютерной
техники.
       Процесс исследования исходного объекта методом математического
моделирования и вычислительного эксперимента неизбежно носит приближенный
характер, так как на каждом этапе вносятся те или иные погрешности.
       1. Источники и классификация погрешностей.
   Существует четыре источника погрешностей, полученных в результате численного
решения: физическая и математическая модели, исходные данные, приближенность
метода и ошибки округления.
   Погрешность,      соответствующая     первым     двум    источникам  называется
неустранимой.
   Погрешность метода связана со способом решения поставленной математической
задачи и появляется в результате подмены исходной математической модели другой
или конечной последовательностью других моделей.
   Погрешность округления возникает в связи с тем, что вычисления проводятся с
конечным числом значащих цифр.
   Все описанные типы погрешностей в сумме дают полную погрешность результата
решения задачи.
   2. Абсолютная и относительная погрешность приближенных значений.
   Пусть  a∗ – приближенное значение точной величины a . Абсолютной
                                     ∗                          ∗
погрешностью приближенного значения a называют такое число Δ ( a ) , для
которого справедливо неравенство

                                   a∗ − a ≤ Δ ( a∗ )
                                                               *
   Относительной погрешностью приближенного значения a называют такое число
δ (a* ) , для которого справедливо неравенство

                                   a∗ − a
                                              ≤ δ ( a∗ )
                                     a∗
      Относительную погрешность часто выражают в процентах.
      3. Значащие цифры. Верные цифры (знаки) приближенного числа.
      Значащими цифрами числа называют все цифры в его записи, начиная с первой
                                          ∗                ∗
ненулевой слева, например, у чисел a = 0,01023 , a = 0,01023000 значащими
цифрами являются подчеркнутые цифры. Первое число имеет четыре значащие цифры
, второе – семь значащих цифр.
       Значащую цифру называют верной, если абсолютная погрешность числа не
превосходит единицы разряда, соответствующего этой цифре.       Например, при
a∗ = 0,01023 , Δ(a∗ ) = 0,000004 ; a∗ = 0,01023000 , Δ(a∗ ) = 0,0000006 .
       Сомнительными называют все цифры приближенного числа, расположенные
правее последней верной цифры.




                                                                                4