Методы вычислений. Часть I. Численные методы алгебры. Курцева К.П - 6 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

6
11 1 12 2 1 1, 1 1 1 1
(1) (1) (1) (1) (1)
21
22 22,1 22
(1)
... ,
... ,
..........................................................................................
rr r r nn
rr n
rr n
r
rr r
r
ax ax ax a x ax b
ax ax a x ax b
axa
++
+
+
−
++++ ++ =
++ + ++ =
+
K
K
(1) (1) (1)
1
,1
(1)
1
(1)
... ,
..........................................................................................
0,
............
0.
rrr
rrnnr
r
r
r
r
m
xaxb
b
b
−−−
+
+
−
+
−
⎧
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
++ =
⎪
⎨
⎪
⎪
=
⎪
⎪
⎪
=
⎪
⎩
(3)
Для любой совместной системы числа
(1)
1
r
r
b
−
+
,…,
(1)r
m
b
−
в системе (3) равны
нулю, т.е. последние mr− уравнений являются тождествами, и они не влияют на
решение системы (1). После отбрасывания “лишних” уравнений возможны два случая:
а) число уравнений системы (1) равно числу переменных, т.е. rn= (в этом случае
система (3) имеет треугольный вид); б) rn
<
(в этом случае система (3) имеет
ступенчатый вид).
Переход системы (1) к равносильной ей системе (3) составляет прямой ход
метода Гаусса. Обратный ход заключается в нахождении неизвестных
12
,,,
n
x
xxK
из системы (3) .
Рассмотренная вычислительная схема, реализующая этот метод называется
схемой единственного деления.
Достоинства метода Гаусса:
• менее трудоемкий (по сравнению с методом обратной матрицы и расчетами
по формулам Крамера);
• позволяет однозначно установить, совместна система или нет, а в случае
совместности найти ее решения (единственное или бесконечное множество);
• дает возможность найти максимальное число линейно независимых
уравнений – ранг матрицы системы.
Преобразования Гаусса удобно проводить не с самими уравнениями, а с
расширенной матрицей системы (1).
Пример. Методом Гаусса решить систему уравнений:
1234
1234
1234
12 34
2326,
242318,
32 2 4,
23 2 8
xxxx
xxxx
xxxx
xx xx
++−=
⎧
⎪
+−−=
⎪
⎨
+−−=
⎪
⎪
−++=−
⎩
Решение. Расширенная матрица системы имеет вид:
12 3 26
24 2 318
32 124
23218
⎛−⎞
⎜⎟
−−
⎜⎟
⎜⎟
−
⎜⎟
⎜⎟
−
−
⎝⎠
. 
         ⎧a11x1 + a12 x2 + K + a1r xr + a1,r +1xr +1 + ... + a1n xn = b1,
         ⎪                (1)
         ⎪              a22   x2 + K + a2(1)r xr + a2,(1)r +1xr +1 + ... + a2(1)n xn = b2(1) ,
         ⎪
         ⎪..........................................................................................
         ⎪⎪                                arr( r −1) xr + ar( r,r−+1)1 xr +1 + ... + arn
                                                                                       ( r −1)
                                                                                               xn = br( r −1) ,
          ⎨                                                                                                        (3)
          ⎪..........................................................................................
          ⎪
          ⎪                                                                                     0 = br(+r 1−1) ,
          ⎪                                                                                     ............
          ⎪
          ⎪⎩                                                                                    0 = bm( r −1) .
                                                                       ( r −1)         ( r −1)
       Для любой совместной системы числа br +1 ,…, bm         в системе (3) равны
нулю, т.е. последние m − r уравнений являются тождествами, и они не влияют на
решение системы (1). После отбрасывания “лишних” уравнений возможны два случая:
а) число уравнений системы (1) равно числу переменных, т.е. r = n (в этом случае
система (3) имеет треугольный вид); б) r < n (в этом случае система (3) имеет
ступенчатый вид).
       Переход системы (1) к равносильной ей системе (3) составляет прямой ход
метода Гаусса. Обратный ход заключается в нахождении неизвестных x1, x2 ,K, xn
из системы (3) .
       Рассмотренная вычислительная схема, реализующая этот метод называется
схемой единственного деления.
       Достоинства метода Гаусса:
       • менее трудоемкий (по сравнению с методом обратной матрицы и расчетами
         по формулам Крамера);
       • позволяет однозначно установить, совместна система или нет, а в случае
         совместности найти ее решения (единственное или бесконечное множество);
       • дает возможность найти максимальное число линейно независимых
         уравнений – ранг матрицы системы.
       Преобразования Гаусса удобно проводить не с самими уравнениями, а с
расширенной матрицей системы (1).

      Пример. Методом Гаусса решить систему уравнений:

      ⎧ x1 + 2 x2 + 3 x3 − 2 x4 = 6,
      ⎪2 x + 4 x − 2 x − 3 x = 18,
      ⎪ 1         2      3      4
      ⎨
      ⎪3 x1 + 2 x2 − x3 − 2 x4 = 4,
      ⎪⎩2 x1 − 3 x2 + 2 x3 + x4 = −8
      Решение. Расширенная матрица системы имеет вид:

                                            ⎛ 1 2 3 −2 6 ⎞
                                            ⎜              ⎟
                                            ⎜ 2 4 −2 −3 18 ⎟ .
                                            ⎜ 3 2 −1 2 4 ⎟
                                            ⎜⎜             ⎟⎟
                                             ⎝ 2 −3 2 1 −8 ⎠


                                                                                                                    6

Страницы