Методы вычислений. Часть I. Численные методы алгебры. Курцева К.П - 7 стр.

      Шаг 1. Так как a11 ≠ 0 , то ко второй, третьей и четвертой строкам матрицы
прибавляем первую строку, умноженную соответственно на числа ( −2), (−3), (−2) и
исключаем переменную x1 из всех строк, начиная со второй. В новой матрице
 (1)
a22  = 0 , поменяем местами вторую и третью строки:
                ⎛1 2        3         −2
                                      6 ⎞ ⎛1 2           3 −2 6 ⎞
                ⎜                         ⎟ ⎜                         ⎟
                ⎜ 0 0 −8         1 6 ⎟ ⎜ 0 −4 −10 8 −14 ⎟
                                                                        .
                ⎜ 0 −4 −10       8 −14 ⎟ ⎜ 0 0 −8 1 6 ⎟
                ⎜⎜                        ⎟ ⎜                         ⎟
                 ⎝ 0 −7 −4       5 20 ⎟⎠ ⎜⎝ 0 −7 −4 5 20 ⎟⎠
                                = −4 ≠ 0 , то умножая вторую строку на ( −7 4 ) и
                              (1)
      Шаг 2. Так как теперь a22
прибавляя полученную строку к четвертой, исключим переменную x2 из всех строк,
начиная с третьей.
                                (2)
      Шаг 3. Учитывая, что a33 = −8 ≠ 0 , умножаем третью строку на
13,5 8 = 27 16 , и прибавляя к четвертой строке, исключим из нее переменную x3 .
                                       ⎛1 2    3   −2   6 ⎞
        ⎛1 2    3  −2 6 ⎞              ⎜                   ⎟
        ⎜                 ⎟            ⎜ 0 −4 −10  8   −14 ⎟
        ⎜ 0 −4 −10 8 −14 ⎟             ⎜ 0 0 −8
       ⎜0 0                                        1    6 ⎟.
               −8 1 6 ⎟                ⎜                   ⎟
       ⎜⎜                ⎟⎟            ⎜0 0        117 117 ⎟
        ⎝ 0 0 13,5 9 4,5 ⎠             ⎜       0 −         ⎟
                                       ⎝            16 8 ⎠
      Получим систему уравнений
       ⎧ x1 + 2 x2 + 3 x3 − 2 x4 = 6,
       ⎪    − 4 x2 − 10 x3 + 8 x4 = −14,
       ⎪⎪
        ⎨           − 8 x3 + x4 = 6,
        ⎪
        ⎪                 117       117
                        −      x4 =     ,
        ⎪⎩                 16        8
откуда, используя обратный ход метода Гаусса, найдем решение системы (1; 2; − 1; 2 ) .

                                                                           3
               1.2 Метод Гаусса с выбором главного элемента. ( N = O (n ) )
                                                                               (i −1)
        На каждом шаге при прямом методе Гаусса мы делили на элемент aii     ≠0 –
этот элемент назывался ведущим. Может получиться так, что элемент близок к 0,
следовательно, коэффициенты в уравнении будут большими, что приведет к
увеличению арифметической погрешности при обратном ходе. В этом случае удобнее
применять метод Гаусса с выбором главного элемента. Основная идея метода состоит
в том, что на очередном шаге исключать не следующее по номеру неизвестное, а то
неизвестное, коэффициент при котором является наибольшим по модулю. Таким
образом, в качестве ведущего элемента здесь выбирается главный, т.е. наибольший по
модулю элемент.
       Например, в системе

                                  ⎧a11x1 + a12 x2 = b1,
                                  ⎨
                                  ⎩a21x1 + a22 x2 = b2 ,


                                                                                        7