Методы вычислений. Часть I. Численные методы алгебры. Курцева К.П - 8 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

8
12 11
aa> , тогда на первом шаге будем исключать переменную
2
x
. Такой прием
эквивалентен тому, что исходная система перепишется в виде
12 2 11 1 1
22 2 21 1 2
,
,
ax ax b
ax ax b
+=
⎧
⎨
+=
⎩
и к ней применяется первый шаг обычного метода Гаусса. Указанный способ
исключения называется методом Гаусса с выбором главного элемента по строке. Он
эквивалентен применению обычного метода Гаусса к системе, в которой на каждом
шаге исключения проводится соответствующая перенумерация переменных.
Применяется также метод Гаусса с выбором главного элемента по столбцу.
Предположим, что
21 11
aa> . Перепишем систему в виде
21 1 22 2 2
11 1 12 2 1
,
,
ax ax b
ax ax b
+=
⎧
⎨
+=
⎩
и к новой системе применим на первом шаге обычный метод Гаусса. Таким образом,
метод Гаусса с выбором главного элемента по столбцу эквивалентен применению
обычного метода Гаусса к системе, в которой на каждом шаге исключения проводится
соответствующая перенумерация уравнений.
Иногда применяется метод Гаусса с выбором главного элемента по всей
матрице, когда в качестве ведущего выбирается максимальный по модулю элемент
среди всех элементов матрицы системы. Смысл выбора главного элемента состоит в
том, чтобы сделать возможно меньшими новые коэффициенты системы и тем самым
уменьшить погрешность вычислений.
1.3 Метод оптимального исключения (
3
()NOn=
)
Прямой и обратный ход совмещены. Рассмотрим систему для случая mn=
11 1 12 2 1 1
21 1 22 2 2 2
11 2 2
,
,
,
nn
nn
nn nnnn
ax ax ax b
ax ax ax b
ax a x ax b
+
++ =
⎧
⎪
+
++ =
⎪
⎨
⎪
⎪
+
++ =
⎩
K
K
KKKKKKKKKKKK
K
Положим в 1-ом уравнении
11
0a
≠
, делим на него:
1 шаг :
(1) (1) (1)
12
12 1 1
,
n
n
x
ax ax b+++=K
2 шаг: исключаем из второго уравнения системы неизвестную
1
x
получаем:
(1) (1) (1) (1)
23
22 23 2 2
,
n
n
ax ax ax b++=K
Полагаем
(1)
22
0a
≠
, делим на него второе уравнение, получаем
(2) (2) (2)
23
23 2 2
,
n
n
ax ax b++=K
Затем с помощью этого уравнения исключаем
2
x
из первого уравнения,
получаем
(2) (2) (2)
13
13 1 1
,
n
n
x
ax ax b++ ++ =KK 
a12 > a11 , тогда на первом шаге будем исключать переменную x2 . Такой прием
эквивалентен тому, что исходная система перепишется в виде

                                      ⎧a12 x2 + a11x1 = b1,
                                      ⎨
                                      ⎩a22 x2 + a21x1 = b2 ,
и к ней применяется первый шаг обычного метода Гаусса. Указанный способ
исключения называется методом Гаусса с выбором главного элемента по строке. Он
эквивалентен применению обычного метода Гаусса к системе, в которой на каждом
шаге исключения проводится соответствующая перенумерация переменных.
      Применяется также метод Гаусса с выбором главного элемента по столбцу.
Предположим, что a21 > a11 . Перепишем систему в виде

                                           ⎧a21x1 + a22 x2 = b2 ,
                                           ⎨
                                           ⎩a11x1 + a12 x2 = b1,
и к новой системе применим на первом шаге обычный метод Гаусса. Таким образом,
метод Гаусса с выбором главного элемента по столбцу эквивалентен применению
обычного метода Гаусса к системе, в которой на каждом шаге исключения проводится
соответствующая перенумерация уравнений.
       Иногда применяется метод Гаусса с выбором главного элемента по всей
матрице, когда в качестве ведущего выбирается максимальный по модулю элемент
среди всех элементов матрицы системы. Смысл выбора главного элемента состоит в
том, чтобы сделать возможно меньшими новые коэффициенты системы и тем самым
уменьшить погрешность вычислений.
                                                                      3
                  1.3 Метод оптимального исключения ( N = O(n ) )
      Прямой и обратный ход совмещены. Рассмотрим систему для случая m = n

                              ⎧a11x1 + a12 x2 + K + a1n xn = b1,
                              ⎪a x + a x + K + a x = b ,
                              ⎪ 21 1 22 2              2n n     2
                              ⎨
                              ⎪KKKKKKKKKKKK
                              ⎪⎩an1x1 + an 2 x2 + K + ann xn = bn ,

      Положим в 1-ом уравнении a11 ≠ 0 , делим на него:
                         (1)
      1 шаг :      x1 + a12  x2 + K + a1(1)      (1)
                                         n xn = b1 ,
      2 шаг: исключаем из второго уравнения системы неизвестную x1 получаем:
       (1)       (1)
      a22  x2 + a23  x3 K + a2(1)n xn = b2(1) ,
                    (1)
      Полагаем a22 ≠ 0 , делим на него второе уравнение, получаем

            (2)
      x2 + a23  x3 K + a2(2)      (2)
                          n xn = b2 ,

      Затем с помощью этого уравнения исключаем x2 из первого уравнения,
получаем

                                      (2)
                            x1 + K + a13  x3 + K + a1(2)      (2)
                                                      n xn = b1 ,


                                                                               8

Страницы