Методы вычислений. Часть I. Численные методы алгебры. Курцева К.П - 9 стр.

      3 шаг: в результате аналогичных операций из третьего уравнения                 системы
получаем:
                                       (3)
                                 x3 + a34  x4 + K + a3(3)      (3)
                                                       n xn = y3 ,

      Затем с помощью этого уравнения исключаем x3 из преобразованных первого и
второго уравнений системы, получаем, что 3 первых уравнения системы имеют вид
                        (3)
        x1           + a14  x4 + K + a1(3)      (3)
                                        n xn = y1 ,
                        (3)
              x2     + a24  x4 + K + a2(3)n xn = y2(3) ,
                         (3)
                   x3 + a34  x4 + K + a3(3)      (3)
                                         n xn = y3 .
      Остальные уравнения в системе преобразуются аналогичным образом. В этом
методе экономится память, т.о. можно решать системы с числом неизвестных в два раза
больше метода Гаусса. В методе оптимального исключения обратный ход метода
Гаусса здесь видоизменен и соединен с прямым ходом.

                                   1.4 Метод прогонки
       Это частный случай метода Гаусса с ленточной матрицей вида (М1). Применяя к
такой системе метод Гаусса мы приходим к системе матрицы (М2) .

   ⎛×     ×    0    0   0⎞                    ⎛×      ×    0   0      0⎞
   ⎜×     ×    ×    0   0 ⎟⎟                  ⎜0      ×    ×   0      0 ⎟⎟
   ⎜                                          ⎜
   ⎜0     ×    ×    ×   0 ⎟ (М1)              ⎜0      0    ×   ×      0⎟      (М2)
   ⎜                       ⎟                  ⎜                          ⎟
   ⎜0     0    ×    ×   ×⎟                    ⎜0      0    0   ×      ×⎟
   ⎜0     0    0    ×   × ⎟⎠                  ⎜0      0    0   0      × ⎟⎠
   ⎝                                          ⎝
        Пусть система имеет вид
                            ⎧⎪ai xi −1 − bi xi + ci xi +1 = di ,        i = 1, n,
                             ⎨                                                           (4)
                             ⎪⎩a1 = cn = 0.
      Если к этой системе применить метод Гаусса, то любое уравнение будет
связывать xi −1, xi , xi +1 и свободный член.
      В методе прогонке решение ищется в виде рекуррентного соотношения, которое
следует из применимости метода Гаусса
                                          xi = ξi +1xi +1 + ηi +1 ,                      (5)

где ξi +1,ηi +1 – коэффициенты прогонки.
     После несложных преобразований получаем рекуррентные соотношения для
коэффициентов прогонки.
                                            ci                     di − aiηi
                              ξi +1 =             ,       ηi+1 =             .           (6)
                                        bi − aiξi                  aiξi − bi
        Надо знать начальные значения коэффициентов прогонки и конечное
значение xn . Эти неизвестные можно взять из неполных уравнений. Подставим a1 = 0
в (4), получим




                                                                                           9