Методы вычислений. Часть I. Численные методы алгебры. Курцева К.П - 10 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

10
11 12 1
11
12
11
1222
,
,
.
bx cx d
cd
xx
bb
xx
ξη
−+ =
=−
=+
Пользуясь начальными значениями коэффициентов прогонки можно найти
последовательность всех коэффициентов прогонки
11
22
11
,
cd
bb
ξη
==−.
Нахождение коэффициентов прогонки называется прямым ходом метода
прогонки.
1
1
,
.
nn nn n
nnnn
ax bx d
xx
ξη
−
−
−=
⎧
⎨
−=
⎩
Отсюда найдем
n
x
, тогда из рекуррентного соотношения найдем сами
неизвестные. Это обратный ход метода прогонки
Достаточным условием для устойчивости метода прогонки к накоплению
арифметических ошибок является:
iii
bca>+
Пример.
Даны ленточная матрица и столбец свободных членов. Требуется решить
методом прогонки систему из пяти ЛАУ.
24000 8
14200 2
04160 14
00321 12
00033 3
⎛⎞⎛⎞
⎜⎟⎜⎟
−
⎜⎟⎜⎟
⎜⎟⎜⎟
⎜⎟⎜⎟
⎜⎟⎜⎟
⎜⎟⎜⎟
−
⎝⎠⎝⎠
Решение:
11
15
,1,5
0.
ii ii ii i
ax bx cx d i
ac
−+
−+ = =
⎧
⎨
==
⎩
Система, согласно условиям будет иметь вид
12
123
23 4
345
45
24 8,
42 2,
416 14,
32 12,
33 3.
xx
xx x
xx x
xxx
xx
−+ =
−+ =−
−+ =
−+=
−
=−
Используем рекуррентные соотношения (5), (6).
Из первого уравнения следует
12 2 2
24, 2, 4xx
ξ
η
=− = =−
Далее: 
      −b1x1 + c1x2 = d1,
             c1     d
      x1 =      x2 − 1 ,
             b1     b1
      x1 = ξ 2 x2 + η2 .
      Пользуясь начальными значениями коэффициентов прогонки           можно найти
последовательность всех коэффициентов прогонки
              c1         d
     ξ2 =        , η2 = − 1 .
              b1         b1
      Нахождение коэффициентов прогонки называется прямым ходом метода
прогонки.
                                           ⎧an xn−1 − bn xn = d n ,
                                           ⎨
                                           ⎩ xn−1 − ξ n xn = η n .
      Отсюда найдем xn , тогда из рекуррентного соотношения найдем сами
неизвестные. Это обратный ход метода прогонки
      Достаточным условием для устойчивости метода прогонки к накоплению
арифметических ошибок является:
      bi > ci + ai


      Пример.
      Даны ленточная матрица и столбец свободных членов. Требуется решить
методом прогонки систему из пяти ЛАУ.

      ⎛2      4    0   0     0⎞         ⎛ 8⎞
      ⎜                      0 ⎟⎟       ⎜ ⎟
      ⎜1      4    2   0                ⎜ −2 ⎟
      ⎜0      4    1   6     0⎟         ⎜ 14 ⎟
      ⎜                         ⎟       ⎜ ⎟
      ⎜0      0    3   2     1⎟         ⎜ 12 ⎟
      ⎜0      0    0   3     3 ⎟⎠       ⎜ −3 ⎟
      ⎝                                 ⎝ ⎠
     Решение:
      ⎧ai xi −1 − bi xi + ci xi +1 = di , i = 1,5
      ⎨
      ⎩a1 = c5 = 0.
     Система, согласно условиям будет иметь вид
             − 2 x1 + 4 x2                          = 8,
                  x1 − 4 x2 + 2 x3                  = −2,
                       4 x2 − 1x3 + 6 x4            = 14,
                                3 x3 − 2 x4 + x5 = 12,
                                       3 x4 − 3 x5 = −3.
     Используем рекуррентные соотношения (5), (6).
     Из первого уравнения следует
                                     x1 = 2 x2 − 4, ξ 2 = 2, η2 = −4
     Далее:

                                                                                10

Страницы