Методы вычислений. Часть I. Численные методы алгебры. Курцева К.П - 5 стр.

     I. Численные методы решения систем линейных алгебраических уравнений
(СЛАУ).
     Система m линейных уравнений с n неизвестными имеет вид:

                                ⎧a11x1 + a12 x2 + K + a1n xn = b1,
                                ⎪a x + a x + K + a x = b ,
                                ⎪ 21 1 22 2             2n n     2
                                ⎨                                                                   (1)
                                ⎪KKKKKKKKKKKK
                                ⎪⎩am1x1 + am 2 x2 + K + amn xn = bm ,

где    aij , bi (i = 1,2,..., m; j = 1, 2,..., n)       –     произвольные          числа,   называемые
соответственно коэффициентами при переменных и свободными членами уравнений.
      Система уравнений называется совместной, если она имеет хотя бы одно
решение, и несовместной, если она не имеет решений.

                                  1. Точные (прямые) методы.
      Метод называется точным, если при точном выполнении всех требуемых
действий мы получаем точное решение системы. При этом имеется в виду, что все
коэффициенты – точные числа.
                                Методы исключения неизвестных
                                         1.1 Метод Гаусса.
      Наиболее распространенным методом решения СЛАУ является метод Гаусса, в
основе которого лежит идея последовательного исключения неизвестных. С помощью
элементарных преобразований система уравнений приводится к равносильной системе
ступенчатого (или треугольного) вида, из которой последовательно, начиная с
последних (по номеру) переменных, находятся все остальные переменные.
      Рассмотрим решение системы (1) m линейных уравнений с n неизвестными в
общем виде.
      Предположим, что в системе (1) a11 ≠ 0 (этого всегда можно добиться
перестановкой уравнений или переменных с изменением их номеров).
      Шаг 1. Умножая первое уравнение на подходящие числа (а именно на
−a21 a11 , − a31 a11 ,..., − am1 a11 ) и прибавляя полученные уравнения соответственно
ко второму, третьему,…, m -му уравнению системы (1), исключим переменную x1 из
всех последующих уравнений, начиная со второго. Получим
                              ⎧a11x1 + a12 x2 + K + a1n xn = b1,
                              ⎪              (1)
                              ⎪            a22   x2 + K + a2(1)n xn = b2(1) ,
                              ⎨                                                                     (2)
                              ⎪..................................................
                              ⎪           am(1)2 x2 + K + amn   (1)
                                                                    xn = bm(1) ,
                              ⎩
где буквами с верхним индексом (1) обозначены новые коэффициенты, полученные
после первого шага.
                                             (1)
       Шаг 2. Предположим, что a22 ≠ 0 . Умножая второе уравнение из (2) на числа
  (1)  (1)     (1)  (1)
−a32  a22  , −a42  a22  ,..., −am(1)2 a22
                                       (1)
                                       и   прибавляя    полученные     уравнения
соответственно к третьему, четвертому, …, m -му уравнению системы (2), исключим
переменную x2 из всех последующих уравнений, начиная с третьего.
       Продолжая процесс последовательного исключения переменных x3 , x4 ,K, xr −1 ,
после ( r − 1 ) шага получим систему


                                                                                                      5