ВУЗ:
Составители:
Рубрика:
53
Сумма элементов всех строк, как и столбцов, неопределенной матрицы
равна нулю, а операции над ней в соответствии с формулой (1.9.2) приводят к
нахождению ее минора, являющегося искомым определителем.
Важную роль в приложениях, в частности в теории электрических цепей
[9, 17], играют неопределенные матрицы общего вида, когда параметры
элементов схемы могут быть расположены в четырех позициях матрицы вне
базисных строки и столбца. Параметр некоторого элемента дважды входит в
соответствующую строку или столбец – один раз с положительным знаком, а
другой раз с отрицательным. Сложение этих строк и столбцов влечет
исчезновение указанного параметра в производной матрице. Данное
обстоятельство по существу учитывается и в формуле (1.9.2), но в качестве
второй строки и второго столбца используются базисные строка и столбец,
поэтому результат сложения не отображается в самой матрице.
Формула разложения, обобщающая формулу (1.9.2), имеет вид
∆ = sim(i,j) a
ik,jm
∆
(i+k)(j+m)
(i
→
j) + ∆(a
ik,jm
=0), (1.9.4)
где a
ik,jm
– параметр , входящий в четыре позиции матрицы (два раза с
положительным знаком и два раза с отрицательным); ∆
(i+k)(j+m)
(i
→
j) –
суммарный минор [17], то есть определитель матрицы, образованной из
первоначальной матрицы в результате следующих преобразований:
1) добавления строки i к строке k и столбца j к столбцу m; 2) вычеркивания
строки i и столбца j; 3) замены номера i на номер j в обозначениях строк и
столбцов полученной матрицы.
Можно предложить другой вариант формулы разложения матричных
определителей, когда вычисление знака откладывается до последнего уровня
вложенности скобочного выражения, как это имеет место в формуле (1.6.1).
Чтобы получить формулу, аналогичную формуле (1.6.1), для разложения
матричного определителя, введем понятие неудаляемого элемента матрицы
(НЭМ).
Появление НЭМ в позиции (i, j) матрицы на пересечении строки i и
столбца j влечет обнуление этих строки и столбца, а также вычеркивание
других параметров в позиции (i, j), в которой должен остаться только этот
НЭМ. Численные значения НЭМ принимаются равными единице. С учетом
сказанного формулы (1.9.1) или (1.9.2) приводятся к виду
∆ = a
ij
∆(a
ij
⇒нэм) + ∆(a
ij
=0), (1.9.5)
где ∆( a
ij
⇒нэм) – определитель первоначальной матрицы, в которой элементу
a
ij
придан статус НЭМ.
В результате рекурсивного применения формулы (1.9.5) получаются так
называемые элементарные матрицы, соответствующие элементарным
активным схемам [10] в формуле (1.6.1) и содержащие исключительно НЭМ.
Для вычисления определителя элементарной матрицы, равного 1 или -1, можно
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 52
- 53
- 54
- 55
- 56
- …
- следующая ›
- последняя »
