Вычислительные методы для физиков. Часть 1: Аппроксимация функций, численное дифференцирование. Курганский С.И - 15 стр.

UptoLike

15
fgh]hqe_glj_lv_ckl_i_gb
()
px
i
\lhqdZo
xx
ii
1
,
ijbgbfZ_lagZq_gbyjZ\gu_
khhl\_lkl\_ggh
yy
ii
1
,
b bf__l \ wlbo lhqdZo ijhba\h^gmx khhl\_lkl\_ggh
jZ\gmx
mm
ii
1
,
Fh`gh^hdZaZlvqlhlZdhcfgh]hqe_g^he`_g[ulvaZibkZg\
\b^_
()
()( )
[]
()()
[]
px
xx xx h
h
y
xx x x h
h
y
i
iii
i
i
ii i
i
i
=
−−+
+
−−+
+
2
1
3
1
1
2
3
22
()( ) ()()
+
−−
−−
xxxx
h
m
xx x x
h
m
ii
i
i
ii
i
i
2
1
2
1
1
2
2
,
]^_
hxx
iii
=−
1
-
^ebgZ
i
-
]hhlj_adZ
BlZdqlh[uihkljhblvkieZcggZ\k_fhlj_ad_
[]
ab
,
gm`ghhij_^_eblv
_]h gZdehgu
m
i
\h \k_o maeZo bgl_jiheypbb Ijb wlhf Z\lhfZlbq_kdb
h[_ki_qb\Z_lky g_ij_ju\ghklv i_j\hc ijhba\h^ghc kieZcgZ \h \k_o lhqdZo
>ey hlukdZgby \_ebqbg
m
i
bkihevam_f mkeh\b_ g_ij_ju\ghklb \lhjhc
ijhba\h^ghc \h \gmlj_ggbo maeZo bgl_jiheypbb Ijh^bnn_j_gpbjh\Z\
^\Z`^uihke_^g__jZ\_gkl\hihemqbf
()
()()
[]
()( )
[]
px
xx x x h
h
y
xx xx h
h
y
i
iii
i
i
iii
i
i
''
=
−−+
+
−− +
+
22 4 22 4
1
3
1
1
3
()()
[]
()()
[]
+
−−
+
−−
22 22
1
2
1
1
2
xx x x
h
m
xx x x
h
m
ii
i
i
ii
i
i
IjbjZ\gb\Z_f\dZ`^hf\gmlj_gg_fmae_bgl_jiheypbb
x
i
()
in
=−
12 1,, ,
 K
agZq_gby\lhjuoijhba\h^guo\uqbke_gguo\e_\hfbijZ\hfhlmaeZhlj_adZo
() ()
px p x
ii i i
'' ''
=
+
1
,
()
in
=−
12 1,, ,
 K
.
Ih^klZ\b\ kx^Z y\guc \b^ \lhjhc ijhba\h^ghc ihke_ ijhkluo
ij_h[jZah\ZgbcgZoh^bf
1
2
11 1
3
1
11
1
1
2
1
1
2
h
m
hh
m
h
m
yy
h
yy
h
i
i
ii
i
i
i
ii
i
ii
i
++
+
−+
+
++
+=
+
,
()
in
=−
12 1,, ,
 K
.
Fu ihemqbeb kbkl_fm
n
1
ebg_cguo Ze]_[jZbq_kdbo mjZ\g_gbc k
n
+
1
g_ba\_klguf
m
i
()
in
=
01,, ,
 K  G_^hklZxsb_ ^\Z mjZ\g_gby ihemqZxl ba
djZ_\uomkeh\bc>Z^bfljb\ZjbZglZlZdbomkeh\bc
 ?kebaZ^ZguagZq_gbyi_j\hcijhba\h^ghc \ djZcgbo lhqdZo y
0
'
b y
n
'
lh d
ihemq_gghckbkl_f_^h[Z\ey_f^\ZmjZ\g_gby
my
00
=
'
,
                                                             15
�������������������������� pi (x )���������� xi −1 , �x i ����������������������������
��������������� yi −1 , �yi � �� ������ �� ����� ������� ������������� ���������������
������� mi −1 , �mi ������������������������������������������������������������
����

       pi (x ) =
                     (xi             [
                           −x ) 2(x −x i −1 ) +hi
                                 2
                                                          ]y          +
                                                                          (x −xi −1 )2 [2(xi     −x ) +hi   ]y       +
                                                               i −1                                              i
                                         hi3                                             hi3

                           (xi   −x ) (x −xi −1 )
                                           2
                                                                      (x −xi −1 )2 (xi   −x )
                          +                            mi −1 −                                   mi ,
                                           hi2                                  hi2
���� hi =x i −x i −1 -������� i -�����������
      ������������������������������� ������������� [a , �b]�������������������
���� ������� mi � ��� ����� ������ �������������� ���� ����� ��������������
��������������� �������������� ������� ������������ �������� ��� ����� ��������
���� ���������� �������� mi � ����������� �������� �������������� �������
������������ ��� ����������� ������ �������������� �������������������
�����������������������������������

  pi'' (x ) =
                 [
                2 2(x −x i −1 ) −4(xi −x ) +hi            ]y          +
                                                                            [
                                                                          2 2(xi −x ) −4(x −x i −1 ) +hi             ]y       +
                                                               i −1                                                       i
                                     hi3                                                   hi3

                 +
                      [
                  2 (x −xi −1 ) −2(xi −x )
                                           m     +
                                                      ]                 [
                                                   2 2(x −xi −1 ) −(xi −x )
                                                                            mi
                                                                                                        ]
                                            i −1
                             hi2                              hi2
��������������������������������������������������� xi (i =1, � 2, �K , �n −1)
��������������������������������������������������������������������������
                              pi'' (x i ) = pi''+1 (xi ) ,        (i =1, � 2, �K , �n −1) .
���������� ����� ������ ���� ������                                         ������������� �����                  ��������
����������������������
            1            � 1    1 �           1            � yi −yi −1 yi +1 −yi �
               mi −1 +2�      +        � i
                                        m  +       mi +1 =3 ��        +            �� ,
            hi            � hi hi +1 �       hi +1             � hi
                                                                   2
                                                                           h 2
                                                                            i +1     �
                                                                                 (i =1, � 2, �K , �n −1) .
��� ��������� �������� n −1 � ��������� ��������������� ���������� �� n +1
����������� mi (i =0, �1, �K , �n) �� ������������ ���� ���������� ��������� ���
���������������������������������������������������
��� ����� ������� ��������� ������� ������������ �� �������� ������� y 0' � �� y n' �� ��� ��
�������������������������������������������
                                                       m0 =y 0' ,