Линейная алгебра. Курзина В.М. - 27 стр.

                                            ⎯ 26 ⎯

         Пусть f = ( f 1, f 2, ..., f n) ⎯ некоторый базис в n-мерном евклидо-
вом пространстве Е, вообще говоря, не являющийся ортонормированным.
Построим ортонормированный базис e = ( e 1, e 2,..., e n), соответствующий
ему.
          Для этого последовательно вычисляем векторы g 1 и e 1, g 2 и e 2 ,
..., g n и e n по формулам:
   g1 = f 1 ;                                                             e 1 = g 1 / | g 1 |;
   g 2 = f 2 − ( f 2, e 1) e 1 ;                                          e 2 = g 2 / | g 2 |;
   g3 = f 3 − ( f 3, e 1) e 1− ( f 3, e 2) e 2 ;                          e 3 = g 3 / | g 3 |;
      ................................................................. . ........................ ; (1.11)
   g n = f n − ( f n , e 1 ) e 1 − ... − ( f n -1, e n-1) e n-1 ; e n = g n / | g n |.
         Покажем , что базис e ⎯ ортонормированный. Применим метод ма-
тематической индукции, т. е. будем доказывать, что для любого i, i = 1,
..., n, векторы e 1, e 2, ..., e n образуют ортогональную систему и их длины
равны единице. Очевидно, что при i =1 вектор e 1 = g 1 / | g 1 | = f 1 /| f 1 | ⎯
вектор единичной длины, а систему векторов, состоящую из одного векто-
ра, считают ортогональной по определению. Пусть векторы e 1, e 2, ..., e k
образуют ортонормированную систему. Вычислим новый вектор по фор-
муле (1.11): g k+1 = f k+1 − ( f k+1, e 1 ) e 1 −... − ( f k+1, e k) e k. Предположим, что
 g k+1 = 0 , тогда f k+1 = ( f k+1, e 1 ) e 1 − ... − ( f k+1, e k) e k , т. е. вектор f k+1 яв-
ляется линейной комбинацией системы векторов e 1, e 2, ..., e k , которые
выражаются через векторы f 1, f 2, ..., f k . Значит, этот вектор является ли-
нейной комбинацией системы векторов f 1, f 2, ..., f k и система векторов
 f 1, f 2, ..., f k, f k+1 ⎯ линейно зависима, что противоречит условию ли-
нейной независимости системы векторов f 1, f 2,..., f n, являющейся бази-
сом евклидова пространства Е. Итак, наше предположение привело к про-
тиворечию и потому неверно, т. е. g k+1 ≠ 0 . Убедимся, что вектор g k+1 ор-
тогонален каждому из векторов e 1, e 2 , ..., e k .
         Действительно,
         ( g k+1, e i ) = ( f k+1, e i) − ( f k+1, e 1)( e 1 , e i) − ... − ( f k+1, e k) ( e k, e i) =
         = ( f k+1, e i) − ( f k+1, e i) ( e i, e i) = ( f k+1, e i) − ( f k+1, e i) = 0,
так как векторы e 1, e 2, ..., e k попарно ортогональны, а ( e i, e i) = 1.
         Следовательно, система векторов e 1, e 2, ..., e k, e k+1, состоящая из
векторов e k+1= g k+1 / | g k+1 |, образует ортонормированную систему.
         Пример 1.30. В линейном пространстве V2 рассмотрим векторы u =
= (1, 1) и v = ( 3, 4). Так как векторы ненулевые и они неколлинеарные, то
они образуют базис в пространстве V2 . Построим при помощи процесса