Линейная алгебра. Курзина В.М. - 28 стр.

                                      ⎯ 27 ⎯

ортогонализации ортонормированный базис. Полагаем g 1= u и находим
векторы e 1 = g 1 /| g 1 | = (1,1)/|(1,1)| = (1,1)/ 1 + 1 = (1,1)/ 2 = (1/ 2 ,1/ 2 ),
g 2 = f 2 − ( f 2, e 1 ) e 1 = v − ( v , e 1) e 1= (3, 4) − (3/ 2 + 4/ 2 )(1/ 2 , 1/ 2 ) =
= (3, 4) − (7/2, 7/2) = (3,4) − (3,5;3,5) = (−0,5; 0,5), | g 2| = 0,5 2 , e 2 = g 2 /| g 2|=
= (−0, 5; 0,5)/ (0,5 2 ) = (−1/ 2 , 1/ 2 ).
       Векторы e 1 = (1/ 2 , 1/ 2 ) и e 2 = (−1/ 2 , 1/ 2 ) образуют ортонор-
мированный базис в V2.


       1.7. Проекция вектора на подпространство

         Выберем некоторый ортонормированный базис f 1, f 2, ..., f k в неко-
тором линейном подпространстве Н и дополним его до базиса f 1, f 2, ...,
 f k, f k+1,..., f n во всем евклидовом пространстве Е, dim Е = n. Исходя из
этого базиса, построим при помощи процесса ортогонализации ортонор-
мированный базис e = ( e 1, e 2, ..., e n ) в Е. Так как первые k векторов ис-
ходного базиса попарно ортогональны и имеют единичную длину, процесс
ортогонализации оставит их без изменения. Векторы e k+1, ..., e n ортого-
нальны каждому из векторов e 1, ..., e k базиса линейного подпространст-
ва Н. Подпространство Н = L ( e 1, ..., e k), поэтому векторы e k+1, ..., e n ор-
тогональны подпространству Н.
         Рассмотрим произвольный вектор u ∈ Е и запишем его разложение
по базису e : u = u1 e 1 + u2 e 2 + ... + un e n. В этом разложении выделим
два вектора u 1 = u1 e 1 + u2 e 2 + ... + uk e k и u 2 = uk+1 e k+1 + ... + un e n,
тогда вектор u = u 1 + u 2 , где вектор u 1 ∈ Н, а вектор u 2 ⎯ ортогона-
лен подпространству Н. Вектор u 1 называют ортогональной проекцией
вектора u на линейное подпространство Н, вектор u 2 ⎯ ортогональной
составляющей вектора u относительно линейного подпространства Н. Ка-
ково бы ни было линейное подпространство Н в евклидовом пространстве
Е, любой вектор x из него можно представить в виде суммы его ортого-
нальной проекции на линейное подпространство Н и ортогональной со-
ставляющей этого вектора относительно линейного подпространства Н.
Пример 1.31. Рассмотрим в пространстве векторов V3 подпространство
векторов V2. В качестве базиса в V3 возьмем стандартный базис i , j , k ,
причем векторы i , j образуют базис V2. Пусть задан вектор a = 2 i + 3 j +
+ 6 k ∈V3, тогда вектор a 1 = 2 i + 3 j ∈V2, т. е. является ортогональной про-
екцией вектора a на подпространство V2, а вектор a 2 = 6 k ⊥V2 ⎯ ортого-
нальная составляющая вектора a относительно линейного подпространст-