ВУЗ:
Составители:
Рубрика:
⎯
29
⎯
тора ⏐
c ⏐
2
= Ф (х
1
,... , х
k
), следовательно, задача состоит в нахождении та-
ких действительных коэффициентов х
1
, ..., х
k
,
при которых величина⏐c ⏐
имеет наименьшее значение.
Введем линейное подпространство Н = L (
a
1
, ... , a
k
) и найдем орто-
гональную проекцию
b
1
вектора b на линейное подпространство Н и соот-
ветствующую ортогональную составляющую
b
2
: b = b
1
+b
2
, b
1
∈Н. Тогда
c = b
1
+ b
2
− (х
1
a
1
+ ... + х
k
a
k
) = b
2
+ (b
1
− х
1
a
1
− ... − х
k
a
k
) = b
2
+ c
0
,
где
c
0
∈ Н. Так как векторы
b
2
и
c
0
ортогональны, скалярный квадрат
⏐
c ⏐
2
= (b
2
+ c
0
, b
2
+ c
0
) = (b
2
,
b
2
) +2 (b
2
, c
0
) + ( c
0
, c
0
) = (b
2
,
b
2
) +( c
0
, c
0
) =
=⏐
b
2
⏐
2
+⏐c
0
⏐
2
. Ортогональная составляющая b
2
постоянна и не зависит
от выбора коэффициентов х
1
, ..., х
k
, поэтому задача сводится к нахожде-
нию минимума величины⏐
c
0
⏐
2
. Эта величина неотрицательна и достигает
минимума, если обращается в нуль, т. е. при условии, что
c
0
= 0.
А это равносильно тому, что
c = b
2
, а именно, вектор c совпадает с
ортогональной составляющей относительно подпространства
Н, а следова-
тельно, ортогонален подпространству
Н и всем его векторам, в том числе и
векторам
a
1
, ...,
a
k
. Поэтому вектор
c
является решением системы уравне-
ний (
a
j
, c ) = 0 , j = 1, ... , k, или (a
j
, b − х
1
a
1
− ...− х
k
a
k
) = 0, j = 1, ... , k.
После скалярного умножения и переноса скалярных произведений, содер-
жащих вектор
b ,
в правую часть получаем систему линейных алгебраиче-
ских уравнений
⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
⎨
⎧
=+++
=+++
=+++
),(),(...),(),(
......................................................................
);,(),(...),(),(
);,(),(....),(),(
2
2
1
1
22
2
22
1
12
11
2
21
1
11
baxaaxaaxaa
baxaaxaaxaa
baxaaxaaxaa
k
k
kkkk
k
k
k
k
(1.13)
относительно неизвестных
х
1
,... , х
k
. Матрица этой системы G = (( a
i
, a
j
))
⎯ это матрица Грама для системы векторов a
1
,..., a
k
. Эта система всегда
совместна: ее решениями являются коэффициенты разложения вектора
b
1
(ортогональной проекции вектора
b
на Н) по системе векторов a
1
,..., a
k
,
так как в этом случае
c = b
2
= b − b
1
.
Теорема 1. 5. Если система векторов a
1
,..., a
k
линейно независима,
то ее матрица Грама является невырожденной.
Так как система векторов
a
1
,..., a
k
линейно независима, то равенст-
во
α
1
a
1
+ α
2
a
2
+...
+ α
k
a
k
= 0 выполняется при условии α
1
= α
2
= ...= α
k
=
= 0. Умножив записанную выше нулевую линейную комбинацию на лю-
бой из векторов
a
i
, i = 1,..., k, получим, что ( a
i
, α
1
a
1
+ α
2
a
2
+ ...
+ α
k
a
k
) =
= (
a
i
, 0) = 0. Учитывая свойства скалярного произведения векторов ли-
нейного пространства, получаем (
a
i
, α
1
a
1
)
+ (
a
i
, α
2
a
2
)
+ ... + (
a
i
, α
k
a
k
) =
⎯ 29 ⎯
тора ⏐ c ⏐2 = Ф (х1 ,... , хk ), следовательно, задача состоит в нахождении та-
ких действительных коэффициентов х1, ..., хk , при которых величина⏐ c ⏐
имеет наименьшее значение.
Введем линейное подпространство Н = L ( a 1, ... , a k) и найдем орто-
гональную проекцию b 1 вектора b на линейное подпространство Н и соот-
ветствующую ортогональную составляющую b 2: b = b 1 +b 2, b 1 ∈Н. Тогда
c = b 1 + b 2 − (х1 a 1 + ... + хk a k ) = b 2 + ( b 1 − х1 a 1 − ... − хk a k ) = b 2 + c 0,
где c 0 ∈ Н. Так как векторы b 2 и c 0 ортогональны, скалярный квадрат
⏐ c ⏐2 = (b 2 + c 0, b 2 + c 0) = (b 2, b 2) +2 (b 2, c 0) + ( c 0, c 0) = (b 2, b 2) +( c 0, c 0) =
=⏐b 2⏐2 +⏐ c 0⏐2. Ортогональная составляющая b 2 постоянна и не зависит
от выбора коэффициентов х1, ..., хk , поэтому задача сводится к нахожде-
нию минимума величины⏐ c 0⏐2. Эта величина неотрицательна и достигает
минимума, если обращается в нуль, т. е. при условии, что c 0 = 0 .
А это равносильно тому, что c = b 2 , а именно, вектор c совпадает с
ортогональной составляющей относительно подпространства Н, а следова-
тельно, ортогонален подпространству Н и всем его векторам, в том числе и
векторам a 1, ..., a k . Поэтому вектор c является решением системы уравне-
ний ( a j, c ) = 0 , j = 1, ... , k, или ( a j, b − х 1 a 1 − ...− хk a k) = 0, j = 1, ... , k.
После скалярного умножения и переноса скалярных произведений, содер-
жащих вектор b , в правую часть получаем систему линейных алгебраиче-
ских уравнений
⎧ (a 1 , a 1 ) x1 + (a 1 , a 2 ) x 2 + .... + (a 1 , a k ) x k = (a 1 , b);
⎪
⎪(a 2 , a 1 ) x1 + (a 2 , a 2 ) x 2 + ... + (a 2 , a k ) x k = (a 2 , b);
⎨ (1.13)
⎪ .......... .......... .......... .......... .......... .......... ..........
⎪ (a k , a 1 ) x + (a k , a 2 ) x + ... + (a k , a k ) x = (a k , b)
⎩ 1 2 k
относительно неизвестных х1 ,... , хk. Матрица этой системы G = (( a i , a j))
⎯ это матрица Грама для системы векторов a 1 ,..., a k . Эта система всегда
совместна: ее решениями являются коэффициенты разложения вектора b 1
(ортогональной проекции вектора b на Н) по системе векторов a 1,..., a k,
так как в этом случае c = b 2 = b − b 1 .
Теорема 1. 5. Если система векторов a 1 ,..., a k линейно независима,
то ее матрица Грама является невырожденной.
Так как система векторов a 1 ,..., a k линейно независима, то равенст-
во α1 a 1 + α2 a 2 +... + αk a k = 0 выполняется при условии α1 = α2 = ...= αk =
= 0. Умножив записанную выше нулевую линейную комбинацию на лю-
бой из векторов a i, i = 1,..., k, получим, что ( a i, α1 a 1 + α2 a 2 + ... + αk a k) =
= ( a i, 0 ) = 0. Учитывая свойства скалярного произведения векторов ли-
нейного пространства, получаем ( a i, α1 a 1) + ( a i, α2 a 2) + ... + ( a i, αk a k) =
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 28
- 29
- 30
- 31
- 32
- …
- следующая ›
- последняя »
