Линейная алгебра. Курзина В.М. - 31 стр.

                                       ⎯ 30 ⎯

= α1( a i, a 1) + α2( a i, a 2) + ... + αk ( a i, a k ) = 0, i = 1, ..., k, причем постоян-
ные α1 = α2 = ...= αk = 0. Следовательно, столбцы матрицы Грама линейно
независимы и ее определитель не равен нулю. Итак, матрица Грама ⎯ не-
вырожденная.
                Наоборот, если система векторов a 1, ..., a k линейно зависима,
то ее матрица Грама является вырожденной. Действительно, система век-
торов a 1, ..., a k линейно зависима, поэтому равенство α1 a 1 + α2 a 2 + ... +
+ αk a k = 0 выполняется при некотором αs ≠ 0, тогда можно представить
вектор a s в виде линейной комбинации остальных векторов: a s = − (α1 a 1 +
+ α2 a 2 + ... + αk a k)/αs = − α1 / αs a 1 − α2 / αs a 2 − ... − αk / αs a k. После умно-
жения последнего равенства на произвольный вектор a i, i = 1, ..., k, полу-
чаем равенство
     ( a i , a s) = − α1 / αs( a i , a 1) − α2 / αs( a i, a 2) − ... − αk / αs( a i , a k),
следовательно, s-й столбец матрицы Грама является линейной комбинаци-
ей остальных ее столбцов, т. е. определитель матрицы Грама равен нулю и
матрица Грама ⎯ вырожденная.
       Итак, если система векторов a 1, ..., a k линейно независима, то мат-
рица Грама невырождена и система (1.13) имеет единственное решение.
Если же система векторов линейно зависима, то система (1.13), будучи со-
вместной, имеет бесконечно много решений и каждое из них даст решение
исходной задачи. Среди этих решений можно выбирать те, которые удов-
летворяют каким-то дополнительным условиям.


       2. Линейные операторы

       2.1. Определение и примеры

      Линейная алгебра большое внимание уделяет отображениям, кото-
рые векторам одного линейного пространства ставят в соответствие векто-
ры другого или того же самого пространства. Среди таких отображений
выделяются те, которые сохраняют алгебраические соотношения, эти ото-
бражения естественным образом связаны со структурой линейного про-
странства. Линейный оператор А в линейном пространстве V ⎯ пра-
вило, по которому каждому вектору v ∈ V ставится в соответствие некото-
рый вектор А( v ), причем А(α u +β v ) = αА( u ) + βА( v ) для всех векторов
v , u ∈V, и всех чисел α, β ∈ R. Говорят, что линейный оператор A дейст-
вует в линейном пространстве V и обозначают А: V → V. Непосредственно
из определения вытекает, что для любого линейного оператора А( 0) = 0,
так как
                        А( 0) = А(0⋅ 0) = 0⋅А( 0) = 0.