Линейная алгебра. Курзина В.М. - 32 стр.

                                  ⎯ 31 ⎯

      Пример 2.1 . Пусть Кn [x] ⎯ линейное пространство многочленов од-
ного переменного х степени, не превышающей натуральное число n. Для
каждого многочлена Р (х) определена его производная Р′(х), являющаяся
многочленом степени не выше n −1. Таким образом, на линейном про-
странстве Кn[x] определено правило d/dx, которое каждому многочлену
ставит в соответствие его производную. В качестве пространства значений
при этом можно выбрать как исходное пространство Кn[x], так и простран-
                                d                   d
ство Кn-1[x]. Оба отображения      : Кn[x] → Кn[x];    : Кn[x] → Кn-1[x] удов-
                                dx                  dx
летворяют условию линейности в силу свойств линейности производной
(производная суммы функций равна сумме производных, при умножении
функции на число производная полученной функции равна производной
исходной функции, умноженной на это число). Следовательно, рассмот-
ренные правила, по которым преобразуются элементы пространства Кn[x],
являются линейными операторами в пространстве Кn[x].
      Пример 2.2. В пространстве V2 свободных векторов на плоскости с
обычными операциями сложения и умножения на число векторов поворот
вектора на заданный угол ϕ против часовой стрелки представляет собой
правило А, по которому V2 преобразуется в V2. Линейность этого преобра-
зования вытекает из того, что сумма двух свободных векторов может вы-
числяться по правилу параллелограмма, а диагональ параллелограмма при
повороте векторов на угол ϕ повернется на тот же угол. Умножение векто-
ра на число означает изменение его длины и, возможно, его направления
на противоположное. Ясно, что можно сначала умножить вектор на число,
а потом повернуть на угол ϕ, а можно выполнить эти две операции в об-
ратном порядке, т. е. повернуть вектор, а затем умножить его на число. Ре-
зультат будет один и тот же. Для введенного правила А справедливо ра-
венство А(α u + β v ) = αА( u ) + βА( v ) для всех v , u ∈ V2, α, β∈ R, и пра-
вило А является линейным оператором в линейном пространстве V2.
      Пример 2.3. Рассмотрим n-мерное линейное арифметическое про-
странство Rn, элементы которого будем представлять как матрицы-
столбцы высоты n, и квадратную матрицу А порядка n. Правило отобра-
жения А: Rn → Rn, которое каждому столбцу u ставит в соответствие стол-
бец А u , является линейным оператором в силу свойств умножения мат-
риц: А(α u + β v ) = αА( u ) + βА( v ) для всех v , u ∈ Rn, α, β ∈ R.
      Пример 2.4. В n-мерном линейном арифметическом пространстве Rn
для любого действительного числа λ правило А: Rn → Rn, определяемое
формулой А u = λ u (растяжение в⏐λ⏐раз с дополнительным отражением
при λ< 0), является линейным оператором. Этот линейный оператор ⎯ ча-
стный случай предыдущего, он может быть определен при помощи матри-
цы λЕ, где Е ⎯ единичная матрица.