Линейная алгебра. Курзина В.М. - 34 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МГУЛ | Мытищи

Составители: 

Рубрика: 

⎯
33
⎯
2.3. Общий вид линейного оператора в линейном пространстве
Матрица линейного оператора полностью характеризует линейный
оператор.
Теорема 2.1. Пусть А: V
→ V
⎯
линейный оператор. Тогда столбец v
координат вектора
v = А( u ) в данном базисе e линейного пространства V
равен произведению А
m
u матрицы оператора А в базисе e на столбец u
координат вектора
u
в том же базисе: v = А
m
u.
Выберем произвольный вектор
u
= u
1
e
1
+ ... + u
n
e
n
. Его образом
будет вектор
v = А ( u ) = А (u
1
e
1
+ ... + u
n
e
n
) = u
1
(А ( e
1
) +...+ u
n
(А( e
n
)) =
= u
1
(а
11
e
1
+ ... + а
n1
e
n
) + ... + u
n
(а
1n
e
1
+...+ а
nn
e
n
) = (а
11
u
1
+...+ а
1n
u
n
) e
1
+
+ ... + (а
n1
u
1
+ ... + а
nn
u
n
) e
n
. Столбец координат вектора А( u ), являющего-
ся образом вектора
u в базисе e имеет вид
au au
au au
nn
nnnn
11 1 1
11
+
+
++
⎛
⎝
⎜
⎜
⎜
⎞
⎠
⎟
⎟
⎟
...
.......................
...
=
aa
aa
n
nnn
11 1
1
...
.............
...
.
⎛
⎝
⎜
⎜
⎜
⎞
⎠
⎟
⎟
⎟
u
u
n
1
...
⎛
⎝
⎜
⎜
⎜
⎞
⎠
⎟
⎟
⎟
= А
m
u.
Запись v = А
m
u из формулировки теоремы 2.1 будем называть матричной
формой записи действия линейного оператора А в базисе
e или общим
видом оператора .
Пример 2.8. Рассмотрим оператор А: V
3
→ V
3
, который каждый век-
тор
u
пространства V
3
преобразует в его векторное произведение А (
u
) =
= [
u , i ] на орт i оси Ох. (Напомним, что векторное произведение двух
векторов
u и v ⎯ это неколлинеарный с ними третий вектор w , который
строится следующим образом: а) его длина равна |
u |⋅| v |sinϕ, где ϕ ⎯
угол между векторами
u и v ; б) его направление перпендикулярно плос-
кости параллелограмма, построенного на векторах
u
и
v
; в) направление
вектора
w
выбирается так, чтобы векторы
u
,
v
,
w
составляли правую
систему).
В силу свойств векторного произведения А ⎯ линейный опера-
тор. Найдем матрицу А
m
этого линейного оператора в ортонормирован-
ном базисе
i , j ,
k
. Для этого найдем образы базисных векторов и разло-
жим их по тому же базису. Поскольку
A i = [ i , i ] = 0, первый столбец в
матрице
А
m
нулевой. Второй столбец матрицы получаем из соотношения
A j = [ j , i ] = −
k
= 0 i +0 j −1
k
= ( i j
k
)
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
−1
0
0
.
Затем третий столбец: 
                                         ⎯ 33 ⎯

       2.3. Общий вид линейного оператора в линейном пространстве

        Матрица линейного оператора полностью характеризует линейный
оператор.
        Теорема 2.1. Пусть А: V → V ⎯ линейный оператор. Тогда столбец v
координат вектора v = А( u ) в данном базисе e линейного пространства V
равен произведению Аm u матрицы оператора А в базисе e на столбец u
координат вектора u в том же базисе: v = Аm u.
        Выберем произвольный вектор u = u1 e 1 + ... + un e n. Его образом
будет вектор v = А ( u ) = А (u1 e 1 + ... + un e n ) = u1(А ( e 1) +...+ un (А( e n)) =
 = u1 (а11 e 1 + ... + а n1 e n) + ... + un (а1n e 1 +...+ аnn e n) = (а11u1 +...+ а1n un) e 1 +
+ ... + (а n1u1 + ... + аnn un) e n. Столбец координат вектора А( u ), являющего-
ся образом вектора u в базисе e имеет вид
                         ⎛ a11u1 +...+ a1nun ⎞ ⎛ a11... a1n ⎞ ⎛ u1 ⎞
                         ⎜                        ⎟ ⎜                  ⎟⎜ ⎟
                         ⎜ .......................  =
                                                  ⎟ ⎜   ............. .⎟ ⎜ ... ⎟ = Аm u.
                         ⎜                        ⎟ ⎜                  ⎟⎜ ⎟
                         ⎝ an1u1 +...+ annun ⎠ ⎝ a1n ... ann ⎠ ⎝ u n ⎠
Запись v = Аm u из формулировки теоремы 2.1 будем называть матричной
формой записи действия линейного оператора А в базисе e или общим
видом оператора .
        Пример 2.8. Рассмотрим оператор А: V3 → V3, который каждый век-
тор u пространства V3 преобразует в его векторное произведение А ( u ) =
= [ u , i ] на орт i оси Ох. (Напомним, что векторное произведение двух
векторов u и v ⎯ это неколлинеарный с ними третий вектор w , который
строится следующим образом: а) его длина равна | u |⋅| v |sinϕ, где ϕ ⎯
угол между векторами u и v ; б) его направление перпендикулярно плос-
кости параллелограмма, построенного на векторах u и v ; в) направление
вектора w выбирается так, чтобы векторы u , v , w составляли правую
систему). В силу свойств векторного произведения А ⎯ линейный опера-
тор. Найдем матрицу Аm этого линейного оператора в ортонормирован-
ном базисе i , j , k . Для этого найдем образы базисных векторов и разло-
жим их по тому же базису. Поскольку A i = [ i , i ] = 0, первый столбец в
матрице Аm нулевой. Второй столбец матрицы получаем из соотношения
                                                                           ⎛ 0⎞
                                                                           ⎜ ⎟
                     A j = [ j , i ] = − k = 0 i +0 j −1 k = ( i j k ) ⎜ 0 ⎟ .
                                                                           ⎜ − 1⎟
                                                                           ⎝ ⎠
        Затем третий столбец:

Страницы