Линейная алгебра. Курзина В.М. - 35 стр.

                                         ⎯ 34 ⎯

                                                                 ⎛0⎞
                                                                 ⎜ ⎟
                A k = [ k , i ] = j = 0 i + 1 j + 0 k = ( i j k )⎜1⎟ .
                                                                 ⎜0⎟
                                                                 ⎝ ⎠
       Итак, матрица оператора имеет вид

                                                  ⎛ 0 0 0⎞
                                                  ⎜        ⎟
                                          Аm = ⎜ 0 0 1 ⎟ .
                                                  ⎜ 0 −1 0⎟
                                                  ⎝        ⎠
       Действие линейного оператора А на вектор u можно теперь запи-
сать как умножение столбца его координат (u1, u2, u3)Т на матрицу опера-
тора:
                         ⎛ u1 ⎞                  ⎛ 0 0 0 ⎞ ⎛ u1 ⎞                     ⎛ 0 ⎞
                         ⎜ ⎟                     ⎜        ⎟ ⎜ ⎟                       ⎜     ⎟
 А u = ( i , j , k )⋅Аm⋅ ⎜ u2 ⎟ = ( i , j , k )⋅ ⎜ 0 0 1 ⎟ ⋅ ⎜ u 2 ⎟ = ( i , j , k )⋅ ⎜ u 3 ⎟ =
                         ⎜ ⎟                     ⎜0 −1 0⎟ ⎜u ⎟                        ⎜− u ⎟
                         ⎝ u3 ⎠                  ⎝        ⎠ ⎝ 3⎠                      ⎝ 2⎠
 = u3 j − u2 k .
       Между линейными операторами, действующими в данном n-мерном
линейном пространстве V, и квадратными матрицами порядка n существу-
ет соответствие, которое является взаимно однозначным, что и утверждает
следующая теорема.
       Теорема 2.2. Пусть e ⎯ произвольный базис в n-мерном линейном
пространстве V. Различным линейным операторам А и В, действующим в
пространстве V, соответствуют и различные матрицы в базисе e . Любая
квадратная матрица Аm порядка n является матрицей некоторого линейного
оператора, действующего в линейном пространстве V.
       Если матрицы Аm и Bm операторов А и В в базисе e совпадают, то
согласно теореме 2.1 для любого вектора u со столбцом координат u вы-
полняется равенство А u = e Аm u = e Bm u = В u , т. е. образы произвольно-
го вектора при двух отображениях совпадают. Следовательно, совпадают и
сами отображения. Пусть Аm = (аij) ⎯ произвольная квадратная матрица
порядка n. Определим правило А преобразования векторов линейного про-
странства V (А: V → V) по формуле А( u ) = e Аm u, где u ⎯ столбец ко-
ординат вектора u . Такое правило задает линейный оператор, в чем не-
сложно убедиться.
       Действительно, для любых векторов u , v ∈ V и любых действи-
тельных чисел α, β выполняется равенство А(α u +β v )= e Аm(αu + + βv) =
α ( e Аm u) + β( e Аm v) = αА( u ) + βА( v ). Здесь использованы свойства ум-
ножения матриц. Вычислив для j = 1, ..., n столбец координат j-го вектора