Линейная алгебра. Курзина В.М. - 36 стр.

                                  ⎯ 35 ⎯

из базиса e , А e j = e Amei, в силу того, что единица стоит в j-й строке ei, а
в остальных -⎯ нули, убеждаемся, что он совпадает с j-м
столбцом матрицы Аm и поэтому матрица заданного линейного оператора
совпадает с исходной матрицей Аm .


      2. 4. Матрица перехода

       Матрица линейного оператора изменяется, когда изменяется базис
линейного пространства. Определим, каковы это изменения. Вспомним,
что связь старого (исходного) и нового базисов отражается матрицей пере-
хода.
       Теорема 2. 3. Матрицы Ае и Аb линейного оператора А, записанные
в базисах e и b линейного пространства V соответственно, связаны друг с
другом матричным соотношением Ае = U -1АbU, где матрица U = Uе → b ⎯
матрица перехода от базиса e к базису b .
       Пусть v = A u . Обозначим координаты векторов u и v в старом
базисе e через uе и vе , а в новом базисе ub и vb. Поскольку действие ли-
нейного оператора в матричной форме записи в базисе e имеет вид vе =
= Аmе ue (см. теорему 2.1), а координаты векторов u и v в новом и старом
базисах связаны между собой равенствами uе = Uub и vе = Uvb, получаем
vb = U -1vе = U -1 (А mе uе) = U -1 (АmеUu b) = (U -1Аmе U)ub. Равенство vb =
= (U -1АmеU)ub является общим видом линейного оператора А в базисе b
и поэтому
                                      U -1АmеU = А mb .
       Квадратные матрицы А и В порядка n называют подобными, если
существует такая невырожденная матрица Р, что Р -1АР = В, т. е. матрицы,
представляющие один и тот же оператор в разных базисах, подобны. Спра-
ведливо и обратное: если две матрицы подобны, то их можно рассматри-
вать как матрицы одного оператора, но в разных базисах.
       Теорема 2.4. Подобные матрицы А и В имеют равные определители.
       Если матрицы А и В подобны, то для них справедливо Р -1АР = В, где
Р ⎯ невырожденная матрица. Так как определитель квадратных матриц
равен произведению определителей этих матриц, а |Р -1| = |Р |-1, то получа-
ем |В | = | Р -1АР| = | Р -1|⋅|А|⋅|Р| = |А|.
       Следствие. Определитель матрицы линейного оператора не зависит
от выбора базиса.
       Итак, хотя матрица линейного оператора и изменяется при замене
базиса, определитель ее при этом остается неизменным, он характеризует
не конкретную матрицу оператора в конкретном базисе, а сам оператор.
Поэтому определителем линейного оператора называют определитель его
матрицы в каком-либо базисе.