Линейная алгебра. Курзина В.М. - 37 стр.

                                 ⎯ 36 ⎯

      Пример 2.9. Линейный оператор А: V3 → V3, определяемый форму-
лой А x = [ x , i ], в базисе i , j , k имеет матрицу
                                          ⎛0 0 0⎞
                                          ⎜        ⎟
                                    Аm = ⎜ 0 0 1 ⎟ .
                                          ⎜0 −1 0⎟
                                          ⎝        ⎠
      Определитель этой матрицы равен нулю, и в любом другом базисе
определитель матрицы этого линейного оператора равен нулю.
       Если определитель линейного оператора равен действительному
числу α в каком-либо базисе, то он равен α в любом базисе пространства.



     2.5. Самосопряженный оператор

      Пусть Е ⎯ евклидово пространство. Линейный оператор, дейст-
вующий в евклидовом пространстве Е, А*: E → E называется сопряжен-
ным к оператору А, если (А*( u ), v ) = ( u , A( v )) для любых u , v ∈Е.
       Данное определение оставляет открытыми два вопроса. Во-первых,
не ясно, каждый ли линейный оператор, действующий в евклидовом про-
странстве, имеет сопряженный. Во-вторых, из определения не видно, одно-
значно или нет определяется сопряженный оператор. Прежде чем форму-
лировать теорему, отвечающую на оба эти вопроса, докажем одно вспомо-
гательное утверждение.
      Лемма Рисса. Если квадратные матрицы М и N порядка n таковы,
что для любых вектор-столбцов х, у ∈R n выполняется соотношение
                        хТ М у = хТ N y,
 то М = N.
      Пусть mij, nij ⎯ элементы матриц М и N соответственно, стоящие в
i-й строке и j-м столбце. Для произвольной пары индексов i и j выберем
такие вектор-столбцы х и у :
                     ⎛ 0⎞                      ⎛ 0⎞
                     ⎜ ⎟                       ⎜ ⎟
                     ⎜ M⎟                      ⎜ M⎟
                     ⎜ 0⎟                      ⎜ 0⎟
                     ⎜ ⎟                       ⎜ ⎟
                 х = ⎜ 1⎟ ← i-я строка,    у = ⎜ 1⎟ ← j-я строка,
                     ⎜ 0⎟                      ⎜ 0⎟
                     ⎜ ⎟                       ⎜ ⎟
                     ⎜ M⎟                      ⎜ M⎟
                     ⎜ ⎟                       ⎜ ⎟
                     ⎝ 0⎠                      ⎝ 0⎠
в которых присутствует только один ненулевой элемент, равный единице и
стоящий на указанном месте. Записав равенство хТМу = хТNy с выбранны-
ми столбцами х и у и вычислив оба произведения, стоящие в равенстве,