Линейная алгебра. Курзина В.М. - 39 стр.

                                    ⎯ 38 ⎯

Из приведенных соотношений видно, что А* = −А. (Напомним, что сме-
шанным произведением трех векторов u , v , w , взятых в указанном поряд-
ке, называется число, равное скалярному произведению вектора u на век-
торное произведение [ v , w ]).
        Самосопряженный оператор А ⎯ такой оператор, который совпа-
дает со своим сопряженным, т. е. А* = А. Поскольку оператор А сопряжен
самому себе, то для любых векторов u , v выполняется равенство
                                 (А( u ), v ) = ( u , A( v )).
        Пример 2.11. Простейшие линейные операторы ⎯ нулевой Θ и то-
ждественный I ⎯ являются самосопряженными, так как для любых векто-
ров u , v выполняются равенства
                          (I( u ), v ) = ( u , v ) = ( u , I( v )),
                         (Θ( u ), v ) = ( 0 , v ) = 0 = ( u , 0) = ( u , Θ v )).
        Пример 2.12. Рассмотрим линейное пространство векторов V3 с
обычным скалярным произведением векторов ( u , v ). Правило А: V3 → V3
ортогонального проектирования векторов из V3 на направление вектора a
единичной длины, определяемое формулой А( u ) = ( u , a ) a , ⎯ линейный
оператор, так как справедливо равенство А(α u + β v ) = (α u + β v , a ) a =
= α ( u , a ) a + β ( v , a ) a = αА ( u ) + βА( v ). Убедимся, что оператор А яв-
ляется самосопряженным: (А( u ), v ) = (( u , a ) a , v ) = ( u , a )( a , v ) =
= ( u , ( a , v ) a ) = ( u , ( v , a ) a ) = ( u , A( v )).
        Приведенные рассуждения не используют специфику пространства
V3 и могут быть проведены в произвольном евклидовом пространстве.
Любой единичный вектор a евклидова пространства Е порождает линей-
ный оператор Ра ортогонального проектирования на линейное подпро-
странство Н = L ( a ) согласно формуле Ра ( u ) = ( u , a ) a , и этот оператор
является самосопряженным.
        Вспомним [3], что квадратная матрица А, для которой выполняется
равенство А = АТ, называется симметрической.
        Теорема 2.6. Матрица самосопряженного оператора в любом орто-
нормированном базисе является симметрической. Наоборот, если матрица
линейного оператора является симметрической в некотором ортонорми-
рованном базисе, то этот оператор ⎯ самосопряженный.
        Согласно определению самосопряженного оператора А для него вы-
полняется равенство А = А*, т. е. линейный оператор равен своему сопря-
женному оператору. Это эквивалентно тому, что матрица линейного опе-
ратора в ортонормированном базисе совпадает со своей транспонирован-
ной (поскольку она является матрицей сопряженного оператора в этом ба-
зисе). Такие матрицы и называют симметрическими. С другой стороны,
если в каком-то ортонормированном базисе матрица Аm оператора оказы-
вается симметрической, она совпадает со своей транспонированной матри-