Линейная алгебра. Курзина В.М. - 40 стр.

                                      ⎯ 39 ⎯

цей А Tm , тогда оператор А, соответствующий матрице Аm, и оператор А*,
соответствующий матрице А Tm , оказываются одним и тем же оператором, а
именно, А = А* и оператор А ⎯ самосопряженный.
      Ортогональной матрицей U = (uij)n,n называют матрицу, элементы
которой удовлетворяют равенству
                          n           ⎧0, если k ≠ m;
                        ∑ u ik u im = ⎨1, если k = m.
                        i =1          ⎩
      Исходя из определения произведения двух матриц, можно условие
ортогональности матрицы U записать в матричном виде, а именно, если
для матрицы U выполняется условие U TU = E, где U T ⎯ транспониро-
ванная матрица, а Е ⎯ единичная матрица, то матрица U ⎯ ортогональ-
ная. Действительно, элемент с номером km матрицы В = U TU имеет вид
                          n                n
                 bkm =   ∑ u kiT u im =   ∑ uik uim ,
                         i =1             i =1
и для ортогональной матрицы U
                        ⎧0, если k ≠ m;
                  bkm = ⎨
                        ⎩1, если k = m,
т. е. матрица B является единичной матрицей Е.
       Пример 2. 13. Простейшей ортогональной матрицей является еди-
ничная матрица Е, так как ЕТЕ = ЕЕ = Е. Напротив, нулевая матрица не
является ортогональной : ΘТΘ = Θ ≠ Е.
                                    ⎛ cosϕ − sin ϕ ⎞
       Пример 2. 14. Матрица U = ⎜                 ⎟ является ортогональ-
                                    ⎝ sin ϕ cosϕ ⎠
                          ⎛ cosϕ sin ϕ ⎞ ⎛ cosϕ − sin ϕ ⎞
ной, поскольку U TU = ⎜                   ⎟⎜             ⎟=
                          ⎝ − sin ϕ cosϕ ⎠ ⎝ sin ϕ cosϕ ⎠
  ⎛       cos2 ϕ + sin 2 ϕ    − cosϕ sin ϕ + sin ϕ cosϕ ⎞ ⎛ 1 0 ⎞
=⎜                                                      ⎟ = ⎜⎜  ⎟⎟ = Е.
  ⎝ − sin ϕ cosϕ + cosϕ sin ϕ      sin 2 ϕ + cos2 ϕ     ⎠ ⎝0 1⎠
       Из определения вытекает ряд свойств ортогональных матриц.
       Свойство 1. Определитель ортогональной матрицы U может иметь
одно из двух возможных значений ⏐U⏐ = ± 1.
       Согласно равенству U TU = E имеем ⏐U TU⏐=⏐Е⏐. Вспомнив, что
определитель произведения матриц равен произведению их определите-
лей, а определитель транспонированной матрицы равен определителю ис-
ходной матрицы, получим ⏐U TU⏐=⏐U T ⏐⋅⏐U⏐=⏐U⏐2 = ⏐Е⏐ , откуда сле-
дует, что⏐U⏐= ± 1.
       Свойство 2. Матрица, обратная к ортогональной матрице U, совпа-
дает с ее транспонированной матрицей: U −1 = U T.