Линейная алгебра. Курзина В.М. - 41 стр.

                                  ⎯ 40 ⎯

       Согласно свойству 1 ортогональная матрица невырождена и потому
имеет обратную матрицу U −1 . Умножая условие ортогональности спра-
ва на матрицу U −1 , получаем (U TU )U −1 = EU −1 . Так как (U TU )U −1 =
 = U T (UU −1 ) = U T , а EU −1 = U −1 , то U T = U −1 .
       Свойство 3. Произведение ортогональной матрицы U на транспони-
рованную к ней равно единичной матрице: UU T = Е.
       Согласно свойству 2 и определению обратной матрицы справедливо
равенство UU T = UU −1 = Е .
       Свойство 4. Матрица, транспонированная к ортогональной матрице,
тоже является ортогональной.
       Покажем, что для произвольной ортогональной матрицы U имеет
место равенство (UT)ТUТ = Е, представляющее собой запись определения
ортогональной матрицы для матрицы U T. Так как для операции транспо-
нирования справедливо свойство (U T )Т = U, доказываемое равенство эк-
вивалентно равенству UU T = Е, которое верно в силу свойства 3.
       Свойство 5. Произведение двух ортогональных матриц U и Q одного
порядка является ортогональной матрицей.
       Для доказательства достаточно проверить выполнение определения
ортогональности для матрицы UQ: (UQ)ТUQ = (U ТQТ)UQ = QТ (UТU )Q =
= QТЕ Q = QТQ = Е .
       Свойство 6. Матрица, обратная к ортогональной матрице, тоже яв-
ляется ортогональной.
       Согласно свойству 1 ортогональная матрица невырождена, а потому
имеет обратную. Согласно свойству 2 матрица, обратная к ортогональной,
совпадает с транспонированной. Наконец, согласно свойству 4 матрица,
транспонированная к ортогональной, является ортогональной.
       Рассмотрим в евклидовом пространстве Е некоторый линейный
оператор А: Е → Е, сохраняющий скалярное произведение в Е. Такой опе-
ратор называют ортогональным оператором, а его свойство сохранять
скалярное произведение в Е означает, что для любых векторов u , v ∈Е
выполняется равенство (А( u ), А( v )) = ( u , v ). Так как ортогональный
оператор сохраняет скалярное произведение, то он сохраняет норму (дли-
ну) вектора. Действительно, ⏐А( u )⏐2 = (А( u ), А( u )) = ( u , u ) =⏐ u ⏐2.
Отсюда, в частности, следует, что если векторы u и v ⎯ ненулевые, то и
векторы А( u ), А( v ) ⎯ ненулевые. Справедливо и обратное утверждение,
что оператор, сохраняющий евклидову норму, является ортогональным
оператором.
            Пример 2.15. В пространствах V2 и V3 свободных векторов ор-
тогональными являются линейные операторы, сохраняющие расстояние.
Например, линейный оператор поворота вектора на фиксированный угол
является ортогональным, так как при таком повороте длины векторов не
изменяются. Линейный оператор симметрии относительно прямой на плос-