Линейная алгебра. Курзина В.М. - 42 стр.

                                  ⎯ 41 ⎯

кости или относительно плоскости в пространстве также является ортого-
нальным.
      Теорема 2.7. Пусть А: Е → Е ⎯ ортогональный оператор в евклидо-
вом пространстве Е и e = ( e 1,..., e n) ⎯ произвольный ортонормирован-
ный базис в Е. Тогда система векторов А( e ) = (А( e 1), ..., А( e n)) является
ортонормированным базисом в Е.
      Достаточно подсчитать все парные скалярные произведения векто-
ров (А( e i). В силу ортогональности оператора А имеем
                                                            ⎧0, i ≠ j;
                        (А( e i)), А( e j)) = ( e i, e j) = ⎨
                                                            ⎩1, i = j.

       Итак, различные векторы А( e i) и А( e j) ортогональны, а норма каж-
дого из них равна единице. Поэтому система векторов, которую они обра-
зуют: А( e ) = (А( e 1), ..., А( e n)) ⎯ состоит из ненулевых векторов и орто-
гональна, следовательно, она линейно независима. Количество векторов в
линейно независимой системе А( e ) равно n = dim E, и поэтому это базис,
и базис ортонормированный.
       Теорема 2.8. Если линейный оператор А: Е → Е в евклидовом про-
странстве Е переводит ортонормированный базис e = ( e 1,..., e n) в орто-
нормированный базис А( e ) = (А( e 1),..., А( e n)), то этот оператор ортого-
нальный.
       Если вектор u имеет столбец координат u = (u1, ..., u n)T в базисе e ,
то его образ А( u ) имеет тот же столбец координат в базисе А( e ), так как
согласно определению линейного оператора, получаем А( u ) = А(u1 e 1 +
... + un e n) = u1А ( e 1) + ... + un А( e n). Выберем два произвольных вектора
 u = u1 e 1 + ... + un e n, v = v1 e 1 + ... + vn e n, их скалярное произведение в
ортонормированном базисе e выражается формулой ( u , v ) = u1v 1 + ... +
+ un vn, но той же формулой выражается и скалярное произведение их обра-
зов (А( u ), А( v )), если взять в качестве базиса А( e ). Поэтому соотноше-
ние (А( u ), А( v )) = ( u , v ) выполняется для любых векторов u , v ∈ Е, что,
согласно определению, означает ортогональность оператора А.
       Теорема 2. 9. Если матрица линейного оператора в некотором орто-
нормированном базисе ортогональна, то этот оператор является ортого-
нальным. Наоборот, матрица ортогонального оператора в любом ортонор-
мированном базисе является ортогональной.
       Выберем в евклидовом пространстве Е любой ортонормированный
базис e . Тогда для любых векторов u , v , имеющих в этом ортонормиро-
ванном базисе столбцы координат u, v соответственно, выполнено равен-
ство ( u , v ) = uТv ( это запись скалярного произведения в ортонормиро-
ванном базисе ).