Линейная алгебра. Курзина В.М. - 44 стр.

                                 ⎯ 43 ⎯

      Матрица Аm линейного оператора А при замене базиса преобразуется
по формуле Аm′ = U -1АmU , где U ⎯ матрица перехода. В евклидовом про-
странстве при переходе от одного ортонормированного базиса к другому
матрица перехода U является ортогональной, и такая матрица удовлетво-
ряет, как показано выше, свойству U -1= U Т. Поэтому для случая орто-
нормированных базисов формулу преобразования матрицы линейного
оператора можно записать следующим образом: Аm′= U ТAm U.


  3. Собственные векторы и собственные значения линейных операторов

      3.1. Определение и примеры

       Ненулевой вектор v в линейном пространстве V, удовлетворяющий
соотношению A( v ) = λ v , где А: V→ V ⎯ линейный оператор, называется
собственным вектором оператора А. Число λ, для которого выполняется
соотношение A( v ) = λ v , называется собственным значением (собствен-
ным числом), соответствующим собственному вектору v оператора А .
             Пример 3. 1. В линейном пространстве Кn[х] многочленов сте-
пени не выше n содержатся многочлены нулевой степени, т. е. постоянные
                    dc
функции. Так как       = 0 = 0⋅с, многочлены нулевой степени р(х) = с ≠ 0
                    dx
являются собственными векторами линейного оператора дифференциро-
вания, а число λ = 0 ⎯ собственным значением этого оператора.
       Множество собственных значений линейного оператора является
спектром линейного оператора. Каждый собственный вектор связан со
своим собственным значением. Действительно, если вектор v одновре-
менно удовлетворяет двум равенствам A ( v ) = λ v , A ( v ) = µ v , то λ v =
= µ v , откуда (λ − µ) v = 0. Если λ − µ ≠ 0, умножим равенство на число
(λ − µ)-1 и в результате получим, что v = 0 . Но это противоречит опреде-
лению собственного вектора, так как собственный вектор всегда ненуле-
вой.
       Каждому собственному значению отвечают свои собственные векто-
ры, причем таких бесконечно много. Действительно, если v ⎯ собствен-
ный вектор линейного оператора А с собственным значением λ, т. е.
A( v ) = λ v , то для любого ненулевого действительного числа α имеем
α v ≠ 0 и А(α v ) = α(А( v )) = αλ v = λ (α v ). Значит, и вектор α v является
для линейного оператора собственным с тем же собственным значением λ.
       Часто говорят о собственных значениях (числах), спектре и собст-
венных векторах квадратной матрицы. При этом имеют в виду следующее.
Матрица Аm порядка n является матрицей некоторого линейного оператора