Линейная алгебра. Курзина В.М. - 46 стр.

                                ⎯ 45 ⎯

рицы будет матрица того же порядка, что и исходная. Интерес представ-
ляют такие многочлены, значения которых от данной матрицы есть нуле-
вая матрица. Их называют аннулирующими многочленами. Оказывается,
что одним из аннулирующих многочленов для матрицы является ее харак-
теристический многочлен.
      Известно, что характеристические многочлены (уравнения) подоб-
ных матриц совпадают. Рассмотрим квадратные матрицы А и В одного по-
рядка, причем подобные. Тогда существует невырожденная матрица U то-
го же порядка, такая, что В = U -1АU. И в силу свойств определителей име-
ем РB (λ) = det (B − λE) = det (U -1АU − λU -1EU) = det (U -1(A − λE)U) =
= det U -1det (A − λE) det U = det (A − λE ) = РА (λ).
              Рассмотрим линейный оператор А: V → V, действующий в ли-
нейном пространстве V. Выберем в линейном пространстве некоторый ба-
зис e и запишем в этом базисе матрицу Аm = (аij) линейного оператора А.
В пространстве линейных операторов матрица Аm − λЕ является матрицей
линейного оператора А − λI, где I ⎯ тождественный оператор. Определи-
тель det (Аm − λE ) матрицы линейного оператора А − λI, согласно дока-
занному выше, от выбора базиса не зависит. Значит, характеристический
многочлен РАm(λ) матрицы Аm является также характеристическим много-
членом любой другой матрицы оператора А и совпадает с определителем
матрицы линейного оператора А − λI. Мы можем в дальнейшем называть
характеристическим многочленом оператора А: V → V характеристический
многочлен его матрицы, записанной в некотором базисе, а характеристиче-
ским уравнением оператора ⎯ характеристическое уравнение матрицы
Аm. При этом характеристический многочлен не зависит от выбора базиса,
и коэффициенты характеристического многочлена также не связаны с ис-
пользуемым базисом, т. е. являются инвариантами относительно выбора
базиса. Другими словами, коэффициенты характеристического многочлена
отражают свойства самого оператора, а не его матрицы Аm, являющейся
записью оператора в конкретном базисе.
      Пример 3. 3. В линейном пространстве К2[x] многочленов степени не
выше двух элементы 1, х, х2 образуют базис. Матрица Аm линейного опера-
тора дифференцирования в этом базисе имеет вид
                                       ⎛0 1 0⎞
                                       ⎜        ⎟
                                Аm = ⎜ 0 0 2 ⎟ .
                                       ⎜0 0 0⎟
                                       ⎝        ⎠
       Вычислив определитель
                                    −λ 1        0
                                0    −λ    2
                                0     0   −λ