Линейная алгебра. Курзина В.М. - 48 стр.

                                  ⎯ 47 ⎯

       Доказанная теорема говорит о том, что корни характеристи-
ческого уравнения ⎯ множество значений λ, для которых РА (λ) = 0, яв-
ляются собственными значениями оператор А.
       Каждому собственному значению λ матрицы (линейного оператора)
сопоставляют его кратность, полагая ее равной кратности корня λ характе-
ристического уравнения этой матрицы (этого линейного оператора).
       Множество всех собственных векторов, отвечающих данному собст-
венному значению линейного оператора, не является линейным подпро-
странством, так как это множество не содержит нулевого вектора, кото-
рый, по определению, не может быть собственным. Но это формальное и
легко устранимое препятствие является единственным. Обозначим через
S(A, λ)множество всех собственных векторов линейного оператора А в ли-
нейном пространстве V, отвечающих собственному значению λ, с добав-
ленным к этому множеству нулевым вектором.
       Теорема 3.2. Множество S (A, λ) является линейным подпростран-
ством в V.
       Выберем произвольные два вектора u , v ∈ S (A, λ) и докажем, что
для любых действительных чисел α, β вектор α u + β v также принадлежит
S (A, λ). Для этого вычислим образ этого вектора под действием линей-
ного оператора А: А(α u + β v ) = А(α u ) + А(β v ) = αА( u ) + βА( v ) =
= α(λ u ) + β (λ v ) = λ (α u ) + λ(β v ) = λ (α u + β v ). Таким образом, для
вектора w = α u + β v выполняется соотношение А( w ) = λ w . Если w ⎯
нулевой вектор, то он принадлежит S (A, λ). Если же он ненулевой, то со-
гласно доказанному соотношению он является собственным вектором, со-
ответствующим собственному значению λ и опять-таки принадлежит
множеству S (A, λ).
       Совокупность всех собственных векторов оператора А, отвечающих
данному собственному значению, называют собственным подпростран-
ством, отвечающим данному собственному значению. Оно является част-
ным случаем инвариантного подпространства линейного оператора А ⎯
такого линейного подпространства Н, что для любого вектора u ∈Н век-
тор А u также принадлежит Н. Инвариантным подпространством линейно-
го оператора является также линейная оболочка любой системы его собст-
венных векторов. Инвариантным подпространством линейного оператора,
не связанным с его собственными векторами, является образ оператора
(результат действия оператора на вектор).
       Теорема 3.3. Пусть собственные значения λ1 , ..., λr линейного опе-
ратора А попарно различны. Тогда система соответствующих им собст-
венных векторов e 1 , ... , e r ⎯ линейно независима.
       Доказательство опирается на метод математической индукции, про-
водимой по количеству r векторов в системе. При r = 1 утверждение тео-