Линейная алгебра. Курзина В.М. - 49 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МГУЛ | Мытищи

Составители: 

Рубрика: 

⎯
48
⎯
ремы верно, так как линейная независимость системы из одного вектора
означает, что этот вектор ненулевой, а собственный вектор согласно опре-
делению является ненулевым. Пусть утверждение верно при r = m, т. е. для
произвольной системы из m векторов
e
1
,...,
e
m
. Добавим к системе век-
торов еще один собственный вектор
e
m+1
, отвечающий собственному зна-
чению
λ
m+1
, и докажем, что расширенная таким способом система векторов
останется линейно независимой. Рассмотрим произвольную линейную
комбинацию полученной системы собственных векторов и предположим,
что она равна нулевому вектору:
α
1
e
1
+ ... + α
m
e
m
+ α
m+1
e
m+1
= 0. К это-
му равенству применим линейный оператор
А и в результате получим еще
одно векторное равенство для системы векторов:
А(
α
1
e
1
+... + α
m
e
m
+ α
m+1
e
m+1
) = α
1
А( e
1
) +...+ α
m
А( e
m
) + α
m+1
А( e
m+1
) = 0.
Учтем, что векторы
e
1
,..., e
m
являются собственными:
α
1
λ
1
e
1
+ ... + α
m
λ
m
e
m
+ α
m+1
λ
m+1
e
m+1
= 0.
Умножив исходную линейную комбинацию для векторов на посто-
янную
λ
m+1
, получим
α
1
λ
m+1
e
1
+ ... + α
m
λ
m+1
e
m
+ α
m+1
λ
m+1
e
m+1
= 0.
Вычитая это равенство из предыдущего, найдем линейную комби-
нацию векторов
e
1
,..., e
m
, равную нулевому вектору :
α
1
(λ
1
− λ
m+1
) e
1
+ ... + α
m
(λ
m
− λ
m+1
) e
m
= 0.
А так как система векторов
e
1
,...,
e
m
по предположению линейно
независима, делаем вывод, что у полученной комбинации все коэффициен-
ты равны нулю:
α
k
(λ
k
− λ
m+1
) = 0, k = 1,..., m. Поскольку все собственные
значения попарно различны, получаем, что
α
1
= ... = α
m
= 0. Значит, соот-
ношение для линейной комбинации m +1 собственных векторов оператора
А запишется в виде
α
m+1
e
m+1
= 0. Так как вектор e
m+1
ненулевой (как
собственный вектор), то
α
m+1
= 0. В итоге получаем, что линейная комби-
нация для векторов
e
1
,...,
e
m
, e
m+1
равна нулевому вектору только в слу-
чае равенства всех ее коэффициентов нулю. Тем самым, мы доказали, что
система векторов
e
1
,...,
e
m
, e
m+1
линейно независима.
Теорема 3.4. Матрица линейного оператора
А, действующего в ли-
нейном пространстве, в данном базисе является диагональной тогда, и
только тогда, когда все векторы базиса являются собственными для опера-
тора
А.
Пусть А
m
⎯ матрица линейного оператора А в базисе e = ( e
1
,
...,
e
n
). Согласно определению j-м столбцом матрицы А
m
является столбец
координат вектора А
e
j
. Если матрица А является диагональной, то ее j-й
столбец имеет вид ( 0,..., 0, с
j
, 0,..., 0)
Т
(единственный ненулевой элемент
может стоять на j-м месте). Для вектора А
e
j
получаем представление
А
e
j
= ( 0,..., 0, с
j
, 0, ..., 0 )
Т
= с
j
e
j
, которое как раз и означает, что вектор e
j 
                                       ⎯ 48 ⎯

ремы верно, так как линейная независимость системы из одного вектора
означает, что этот вектор ненулевой, а собственный вектор согласно опре-
делению является ненулевым. Пусть утверждение верно при r = m, т. е. для
произвольной системы из m векторов e 1,..., e m. Добавим к системе век-
торов еще один собственный вектор e m+1, отвечающий собственному зна-
чению λm+1, и докажем, что расширенная таким способом система векторов
останется линейно независимой. Рассмотрим произвольную линейную
комбинацию полученной системы собственных векторов и предположим,
что она равна нулевому вектору: α1 e 1 + ... + αm e m + αm+1 e m+1 = 0 . К это-
му равенству применим линейный оператор А и в результате получим еще
одно векторное равенство для системы векторов:
А(α1 e 1+... + αm e m + αm+1 e m+1) = α1 А( e 1) +...+ αm А( e m) + αm+1 А( e m+1) = 0.
         Учтем, что векторы e 1,..., e m являются собственными:
                        α1λ1 e 1 + ... + αmλm e m + αm+1 λ m+1 e m+1 = 0 .
         Умножив исходную линейную комбинацию для векторов на посто-
янную λ m+1, получим
                        α1 λ m+1 e 1 + ... + αmλ m+1 e m + αm+1λ m+1 e m+1 = 0 .
         Вычитая это равенство из предыдущего, найдем линейную комби-
нацию векторов e 1,..., e m , равную нулевому вектору :
                        α1 (λ1 − λm+1) e 1 + ... + αm (λ m − λ m+1) e m = 0 .
         А так как система векторов e 1,..., e m по предположению линейно
независима, делаем вывод, что у полученной комбинации все коэффициен-
ты равны нулю: αk (λ k − λ m+1) = 0, k = 1,..., m. Поскольку все собственные
значения попарно различны, получаем, что α1 = ... = αm = 0. Значит, соот-
ношение для линейной комбинации m +1 собственных векторов оператора
А запишется в виде αm+1 e m+1 = 0 . Так как вектор e m+1 ненулевой (как
собственный вектор), то αm+1 = 0. В итоге получаем, что линейная комби-
нация для векторов e 1,..., e m, e m+1 равна нулевому вектору только в слу-
чае равенства всех ее коэффициентов нулю. Тем самым, мы доказали, что
система векторов e 1,..., e m, e m+1 линейно независима.
         Теорема 3.4. Матрица линейного оператора А, действующего в ли-
нейном пространстве, в данном базисе является диагональной тогда, и
только тогда, когда все векторы базиса являются собственными для опера-
тора А.
          Пусть Аm ⎯ матрица линейного оператора А в базисе e = ( e 1,
..., e n). Согласно определению j-м столбцом матрицы Аm является столбец
координат вектора А e j. Если матрица А является диагональной, то ее j-й
столбец имеет вид ( 0,..., 0, сj, 0,..., 0)Т (единственный ненулевой элемент
может стоять на j-м месте). Для вектора А e j получаем представление
А e j= ( 0,..., 0, сj, 0, ..., 0 )Т = сj e j, которое как раз и означает, что вектор e j

Страницы