Линейная алгебра. Курзина В.М. - 51 стр.

                                ⎯ 50 ⎯

ведением матрицы к диагональному виду. Задача приведения матрицы к
диагональному виду может решаться самостоятельно, вне зависимости от
изучения конкретного оператора. Она состоит в подборе для данной мат-
рицы А такой невырожденной матрицы Р, что матрица А′ = Р -1АР является
диагональной. Решение этой задачи опирается на следующий факт.
      Теорема 3.5. Для любой симметрической матрицы М существует та-
кая ортогональная матрица U, что D = U -1МU, где
                                ⎛ λ1 ... 0 ⎞
                                ⎜             ⎟
                           D = ⎜ ... ... ... .⎟
                                ⎜ 0 ... λ ⎟
                                ⎝          n ⎠
 ⎯ диагональная матрица, диагональными элементами которой являются
собственные значения матрицы М, повторяющиеся согласно их кратности.
      Действительно, для симметрической матрицы М порядка n сущест-
вует такая невырожденная матрица Р, что Р -1МР = D , где в последова-
тельности λ1,..., λn указаны все собственные значения матрицы М с учетом
их кратностей, причем матрица Р является (см. следствие) матрицей пере-
хода между ортонормированными базисами. Поэтому Р ⎯ ортогональная
матрица и Р -1 = РТ. Следовательно, РТМР = Р -1МР = D и матрица U = P
⎯ и говорят, что ортогональным преобразованием матрица А приводится
к диагональному виду.
      Чтобы найти матрицу U, осуществляющую ортогональное преобра-
зование, необходимо:
      1) найти собственные значения матрицы М;
      2) для каждого собственного значения найти набор собственных век-
торов, соответствующих этому собственному значению, при этом эти соб-
ственные векторы должны быть линейно независимыми и их количество
должно равняться кратности собственного значения;
      3) преобразовать системы собственных векторов, полученные для
каждого собственного значения, в ортонормированные при помощи про-
цесса ортогонализации. Объединить ортонормированные системы для ка-
ждого собственного значения в единую систему векторов, которая будет
ортонормированным базисом евклидова пространства;
      4) выписать матрицу U, столбцами которой являются координаты
векторов построенной ортонормированной системы.
      Пример 3.5. Выясним, можно ли привести к диагональному виду
матрицу
                              ⎛ 7 − 12 6 ⎞
                              ⎜               ⎟
                          А = ⎜10 − 19 10 ⎟ .
                              ⎜12 − 24 13 ⎟
                              ⎝               ⎠