Линейная алгебра. Курзина В.М. - 50 стр.

                                     ⎯ 49 ⎯

является собственным с собственным значением сj. Значит, все базисные
векторы являются собственными, а все диагональные элементы матрицы
Аm являются собственными значениями. Верно и обратное. Если каждый
вектор e j является собственным для линейного оператора А и ему отвеча-
ет собственное значение сj, то А e j = сj e j = ( 0,..., 0, сj, 0, ..., 0 )Т, т. е. в
матрице оператора А в этом базисе равны нулю все элементы, кроме диа-
гональных, а диагональный элемент в j-м столбце равен сj.
      Следствие. Если характеристическое уравнение линейного операто-
ра, действующего в n-мерном пространстве, имеет n попарно различных
корней, то существует базис, в котором матрица этого оператора является
диагональной.
      Каждый корень характеристического уравнения является собствен-
ным значением линейного оператора. Каждому из таких корней можно по-
ставить в соответствие хотя бы по одному собственному вектору. Система
выбранных таким образом векторов является по теореме линейно незави-
симой, а так как количество векторов в ней равно размерности линейного
пространства, она является базисом. Этот базис состоит из собственных
векторов, а следовательно, матрица линейного оператора в этом базисе
имеет диагональный вид.
      Если характеристическое уравнение линейного оператора имеет
кратные корни, то такой линейный оператор может иметь диагональную
матрицу в некотором базисе, но так бывает не всегда.
      Пример 3.4. В двумерном линейном пространстве (например, в R2)
рассмотрим линейные операторы, матрицы которых в некотором базисе
             ⎛ 2 0⎞ ⎛ 2 1⎞
имеют вид ⎜⎜      ⎟⎟ , ⎜⎜ ⎟⎟ . Характеристические уравнения этих операто-
             ⎝ 0 2⎠ ⎝ 0 2⎠
ров совпадают и имеют вид (λ − 2)2 = 0. Поэтому оба оператора имеют
единственное собственное значение λ = 2 кратности 2. Матрица первого
линейного оператора уже имеет диагональный вид, т. е. исходный базис
состоит из собственных векторов этого оператора. Можно показать, что
любой ненулевой вектор для этого оператора является собственным и по-
тому для него любой базис есть базис из собственных векторов. У второго
линейного оператора все собственные векторы отвечают собственному
значению 2, но собственное подпространство линейного оператора для
этого собственного значения одномерно. Следовательно, найти два линей-
но независимых собственных вектора для этого линейного оператора не-
возможно, и базиса из собственных векторов не существует.
      Из вышеизложенного следует, что в определенных ситуациях линей-
ный оператор в некотором базисе имеет диагональную матрицу. Чтобы это
было так, оператор должен иметь базис из собственных векторов. Измене-
ние базиса вызывает замену матрицы оператора подобной ей матрицей.
Замену матрицы А диагональной матрицей А′, подобной А, называют при-