Линейная алгебра. Курзина В.М. - 52 стр.

                                   ⎯ 51 ⎯

Если это возможно, найдем соответствующую диагональную матрицу и
матрицу преобразования подобия. Найдем собственные значения данной
матрицы. Ее характеристическое уравнение имеет вид
                        7−λ      − 12     6
           det (A − λE) =   10    − 19 − λ   10 = 0.
                            12      − 24   13 − λ
Раскрывая определитель и решая характеристическое уравнение, находим
его корни: λ1 = −1; λ2 = λ3 = 1. Видим, что имеются два собственных зна-
чения, причем одно из них кратности 2. Матрицу можно привести к диаго-
нальному виду, если сумма размерностей всех собственных подпро-
странств равна размерности линейного пространства, в нашем случае ⎯
трем. Отметим, что размерность собственного подпространства линейного
оператора(матрицы) не превышает кратности соответствующего собствен-
ного значения. Проверим это на собственном подпространстве, отвечаю-
щем собственному значению матрицы λ1 = −1, для чего вычислим ранг
матрицы А − λ1Е
                                      8 − 12 6
                  Rg (А − λ1Е) = Rg 10 − 18 10 = 2.
                                   12 − 24 14
      Значит, размерность первого собственного подпространства равна
3 − 2 = 1. Аналогично находим размерность второго собственного подпро-
странства. Вычисляем ранг матрицы А − λ2Е:
                                     6 − 12 6
                  Rg (А − λ2Е) = Rg 10 − 20 10 = 1.
                                    12 − 24 12
Размерность второго собственного подпространства равна 3 − 1 = 2. Сумма
размерностей обоих подпространств равна трем. Следовательно, базис из
собственных векторов существует. Он собирается из базисов собственных
подпространств. Чтобы его построить, нужно для каждого собственного
значения λ найти фундаментальную систему решений системы линейных
уравнений (A − λE) х = 0. Фундаментальная система решений представляет
собой базис линейного пространства решений однородной системы линей-
ных алгебраических уравнений, а в нашем случае ⎯ собственного подпро-
странства матрицы. Для собственного значения λ1 = −1 получаем систему
уравнений
                        ⎛ 8 − 12 6 ⎞ ⎛ x1 ⎞ ⎛ 0 ⎞
                        ⎜           ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟
                        ⎜10 − 18 10 ⎟ ⎜ x 2 ⎟ = ⎜ 0 ⎟ .
                        ⎜12 − 24 14 ⎟ ⎜ x ⎟ ⎜ 0 ⎟
                        ⎝           ⎠⎝ 3⎠ ⎝ ⎠