Линейная алгебра. Курзина В.М. - 54 стр.

                                    ⎯ 53 ⎯

      Как следует из доказательства теоремы 3.5, чтобы вычислить соб-
ственные значения линейного оператора А и найти его собственные векто-
ры, нужно выполнить следующие операции:
      1) выбрать в линейном пространстве базис и сопоставить оператору
А матрицу Аm этого линейного оператора в выбранном базисе;
      2) составить характеристическое уравнение det (Аm − λE) = 0 и найти
все его действительные корни λk, которые и будут собственными значе-
ниями оператора;
      3) для каждого собственного значения λk найти фундаментальную
систему решений для однородной системы линейных алгебраических
уравнений (Аm − λk E)х = 0. Столбцы фундаментальной системы решений
представляют собой координаты векторов некоторого базиса в собствен-
ном подпространстве S (A, λk) линейного оператора А.
      Любой собственный вектор с собственным значением λk принадле-
жит подпространству S (A, λk), и, следовательно, найденный базис в этом
подпространстве позволяет представить любой собственный вектор с соб-
ственным значением λk .
      Пример 3. 6. Найдем собственные векторы и собственные значения
линейного оператора А, имеющего в некотором базисе пространства мат-
рицу

                                    ⎛ 0 1 2⎞
                                    ⎜        ⎟
                              А m = ⎜4 0 1⎟ .
                                    ⎜ 3 −1 1⎟
                                    ⎝        ⎠
      В соответствии с описанной процедурой необходимо выполнить три
действия. Первое действие можно опустить, так как оператор уже пред-
ставлен своей матрицей в некотором базисе. Выполняем дальнейшие дей-
ствия. Находим собственные значения, решая характеристическое уравне-
ние матрицы
                      −λ 1       2
                       4 −λ      1 = (3 − λ)(λ 2 + 2λ − 3) = 0,
                       3     −1 1− λ
откуда λ1 = −3; λ2 = 1; λ3 = 3. Находим столбцы координат собственных
векторов, решая для каждого из трех собственных значений однородную
систему алгебраических уравнений
                           ⎛− λ 1       2 ⎞ ⎛ x1 ⎞ ⎛ 0 ⎞
                           ⎜                ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟
                           ⎜ 4 −λ       1 ⎟ ⎜ x2 ⎟ = ⎜ 0 ⎟ .
                           ⎜ 3   − 1 1 − λ ⎟⎠ ⎜⎝ x3 ⎟⎠ ⎜⎝ 0 ⎟⎠
                           ⎝
     Для λ = λ1 = − 3 эта система имеет вид