Линейная алгебра. Курзина В.М. - 56 стр.

                                     ⎯ 55 ⎯

       Для λ = λ3 = 3, аналогично предыдущим двум случаям, находим
 столбец координат одного из собственных векторов, например,
                                                   ⎛7⎞
                                                   ⎜ ⎟
                                           х(3) = ⎜11⎟ ,
                                                   ⎜5⎟
                                                   ⎝ ⎠
 который порождает собственное подпространство линейного оператора
 А, отвечающее собственному значению λ3 = 3.
       Пример 3.7. Найдем собственные значения линейного оператора А,
 действующего в n-мерном линейном пространстве, матрица Аm которого в
 некотором базисе является верхней треугольной порядка n:
                                         ⎛ a11 a12 ... a1n ⎞
                                         ⎜                          ⎟
                                         ⎜ 0 a 22 ... a 2 n ⎟
                                    Аm = ⎜                             ,
                                            ... ... ... ... ⎟
                                         ⎜⎜                         ⎟⎟
                                          ⎝ 0       0     ..   a nn ⎠
 причем все ее диагональные элементы аii попарно различны, т. е. аii ≠ аjj
 при i ≠ j. Составляем характеристическое уравнение матрицы Аm:
                      det (Аm − λE ) = (a11 − λ)(a22 − λ) ...(ann − λ) = 0
(определитель верхней треугольной матрицы равен произведению ее диа-
гональных элементов). Находим все действительные корни этого уравне-
ния: λkk = akk , k = 1,..., n. Как видим, линейный оператор А имеет n попар-
но различных собственных значений. В данном случае оператор имеет n
различных собственных подпространств, причем размерность каждого из
них равна единице, так как их размерность не может быть меньше. Если
бы одно из подпространств имело размерность больше единицы, то их
суммарная размерность превышала бы размерность самого линейного про-
странства. Рассмотрим то из собственных подпространств, которое отвеча-
ет собственному значению λrr = arr при r = 1. Здесь собственным является
вектор х(1) со столбцом координат (1, 0, ..., 0)Т. При r = 2 все координаты
собственного вектора, начиная с третьей, будут равны нулю, так как они
удовлетворяют системе линейных уравнений :
                                                        ⎛ x3 ⎞
         ⎛ a33 − a22       a34       ...      a3n ⎞ ⎜ ⎟
         ⎜                                            ⎟⎜ . ⎟
         ⎜     0      a 44  −   a22  ...      a 4n    ⎟ ⎜ . ⎟ = 0,
         ⎜ ...              ...      ...       ... ⎟ ⎜ ⎟
         ⎜                                            ⎟⎜ . ⎟
         ⎝     0             0        .. ann − a22 ⎠ ⎜ ⎟
                                                        ⎝ xn ⎠
получающейся выбрасыванием первых двух уравнений. Второе уравнение
вытекает из всех предыдущих и может быть опущено, а первое уравнение
определяет связь между первыми двумя координатами. Мы получаем, что
собственному значению а22 отвечает вектор х(2) со столбцом коорди-