Линейная алгебра. Курзина В.М. - 58 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МГУЛ | Мытищи

Составители: 

Рубрика: 

⎯
57
⎯
Так как произведение комплексного числа на сопряженное к нему является
действительным числом, равным квадрату модуля комплексного числа , а
х ⎯ ненулевое решение, то
x
Т
х = x
1
х
1
+ ... + x
n
х
n
=⏐х
1
⏐
2
+ ... + ⏐х
n
⏐
2
> 0,
т. е. матричное произведение
x
Т
х представляет собой положительное чис-
ло. Тогда можно определить из равенства (3.3)
λ =
xAx
x
x
T
T
, причем λ будет
действительным числом, если
у =
x
Т
ах ⎯ будет действительным числом.
В силу симметричности матрицы
Ау = у
Т
= (
x
Т
Ах)
Т
= х
Т
А
Т
x
= х
Т
А
x
. Поэто-
му с учетом свойств операции комплексного сопряжения матриц и благо-
даря тому, что элементами матрицы А являются действительные числа,
получаем
y =
x
A
x
T
= (
x
)
Т
А
x
= х
Т
А
x
= у. Комплексное число, сопряжен-
ное самому себе,
⎯ это действительное число. Следовательно, и у является
действительным.
Следствие 3.1. Если матрица А
m
является симметрической, то все
корни ее характеристического уравнения
det (A
m
− λE) = 0 действитель-
ные.
Следствие 3.2.Самосопряженный оператор А, действующий в n-мер-
ном евклидовом пространстве, имеет
n собственных значений, если каждое
из них считать столько раз, какова его кратность.
Следствие 3.3. Симметрическая матрица порядка n имеет n собст-
венных значений, если каждое из них считать столько раз, какова его крат-
ность.
Теорема 3.8. Собственные векторы самосопряженного оператора, от-
вечающие различным собственным значениям, ортогональны.
Рассмотрим самосопряженный оператор
А и два его собственных
вектора
u
1
и u
2
, отвечающие различным собственным значениям λ
1
и λ
2
.
Тогда
А u
1
= λ
1
u
1
, А u
2
= λ
2
u
2
, на основании чего получаем
(
А u
1
, u
2
) = (λ
1
u
1
, u
2
) = λ
1
( u
1
, u
2
).
Но так как
А ⎯ самосопряженный оператор, то справедливо также равен-
ство
(
А u
1
, u
2
) = ( u
1
, А u
2
).
Значит,
(
А u
1
, u
2
) = ( u
1
, А u
2
) = ( u
1
, λ
2
u
2
) = λ
2
( u
1
, u
2
).
Из рассмотренных равенств следует, что
λ
1
( u
1
, u
2
) = λ
2
( u
1
, u
2
),
или иначе это равенство записывается в виде (
λ
1
− λ
2
) ( u
1
, u
2
) = 0. Так как
λ
1
≠ λ
2
, из этого равенства следует, что (u
1
, u
2
) = 0, а это, в свою оче-
редь, означает ортогональность векторов
u
1
и u
2
, что и требовалось до-
казать. 
                                        ⎯ 57 ⎯

Так как произведение комплексного числа на сопряженное к нему является
действительным числом, равным квадрату модуля комплексного числа , а
х ⎯ ненулевое решение, то x Тх = x1 х1 + ... + xn хn =⏐х1⏐2 + ... + ⏐хn⏐2 > 0,
т. е. матричное произведение x Тх представляет собой положительное чис-
                                                          T
                                                         x Ax
ло. Тогда можно определить из равенства (3.3) λ =          T
                                                                , причем λ будет
                                                    x x
                                       Т
действительным числом, если у = x ах ⎯ будет действительным числом.
В силу симметричности матрицы Ау = уТ = ( x ТАх)Т = хТАТ x = хТА x . Поэто-
му с учетом свойств операции комплексного сопряжения матриц и благо-
даря тому, что элементами матрицы А являются действительные числа,
                 T
получаем y = x Ax = ( x )ТА x = хТА x = у. Комплексное число, сопряжен-
ное самому себе, ⎯ это действительное число. Следовательно, и у является
действительным.
      Следствие 3.1. Если матрица Аm является симметрической, то все
корни ее характеристического уравнения det (Am − λE) = 0 действитель-
ные.
      Следствие 3.2.Самосопряженный оператор А, действующий в n-мер-
ном евклидовом пространстве, имеет n собственных значений, если каждое
из них считать столько раз, какова его кратность.
      Следствие 3.3. Симметрическая матрица порядка n имеет n собст-
венных значений, если каждое из них считать столько раз, какова его крат-
ность.
      Теорема 3.8. Собственные векторы самосопряженного оператора, от-
вечающие различным собственным значениям, ортогональны.
      Рассмотрим самосопряженный оператор А и два его собственных
вектора u 1 и u 2 , отвечающие различным собственным значениям λ1 и λ2.
Тогда А u 1 = λ1 u 1, А u 2 = λ2 u 2, на основании чего получаем
                          (А u 1, u 2) = (λ1 u 1, u 2) = λ1 ( u 1, u 2).
Но так как А ⎯ самосопряженный оператор, то справедливо также равен-
ство
                          (А u 1, u 2) = ( u 1, А u 2).
 Значит,
                   (А u 1, u 2) = ( u 1, А u 2) = ( u 1, λ2 u 2) = λ2( u 1, u 2).
      Из рассмотренных равенств следует, что λ1( u 1, u 2) = λ2( u 1, u 2),
или иначе это равенство записывается в виде (λ1 − λ2) ( u 1, u 2) = 0. Так как
λ1 ≠ λ2 , из этого равенства следует, что ( u 1, u 2 ) = 0, а это, в свою оче-
редь, означает ортогональность векторов u 1 и u 2 , что и требовалось до-
казать.

Страницы